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- En mathématiques, l'algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini. Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la multiplication des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une algèbre semi-simple, elle dispose de toute une théorie dont le théorème d'Artin-Wedderburn est le pilier. Cette approche apporte un nouvel angle d'analyse pour la représentation des groupes. Elle permet d'établir par exemple, le théorème de réciprocité de Frobenius, celui d'Artin ou par exemple le (en). (fr)
- En mathématiques, l'algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini. Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la multiplication des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une algèbre semi-simple, elle dispose de toute une théorie dont le théorème d'Artin-Wedderburn est le pilier. Cette approche apporte un nouvel angle d'analyse pour la représentation des groupes. Elle permet d'établir par exemple, le théorème de réciprocité de Frobenius, celui d'Artin ou par exemple le (en). (fr)
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| prop-fr:contenu
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- Considérons l'élément u égal à la somme, pour s décrivant G, des éléments χiδs. Les χi sont des entiers algébriques, par intégralité des caractères. D'autre part χi est, comme tout caractère, une fonction centrale sur G, ce qui démontre que u est un élément du centre de K[G]. Comme ses coordonnées dans la base canonique sont des entiers algébriques, la proposition précédente s'applique et g/di est un entier algébrique. Mais c'est aussi un nombre rationnel et donc un élément de Z, ce qui démontre que di divise l'ordre du groupe. (fr)
- * Chacune des représentations ρi : G → GL définit un morphisme, que l'on note encore ρi, de K[G] dans L, et l'on note ρ le morphisme de K[G] dans la somme directe des L. On note de plus fk les formes linéaires canoniques sur cette somme.
* Pour toute forme linéaire φ = ∑λkfk sur cette somme directe, si φ est nulle sur l'image de ρ, alors ∑λkmk = 0, où mk = fk∘ρ. Or il résulte du corollaire 4 de l'article « Lemme de Schur » que les mk forment une famille libre, ce qui entraîne la nullité de tous les λk donc de φ. Ceci prouve que l'image de ρ n'est incluse dans aucun hyperplan, donc que ρ est surjectif.
* Si un élément f de K[G] est dans le noyau de ρ, c'est-à-dire dans le noyau de tous les ρi, alors f est aussi dans le noyau du morphisme λ : K[G] → L associé à la représentation régulière puisque celle-ci est, comme toute représentation de G, somme directe d'irréductibles. Puisque λ est nulle, l'image par λ de l'élément δ1 de K[G] l'est aussi, or cette image n'est autre que f. Ceci prouve que ρ est injectif. (fr)
- Considérons l'élément u égal à la somme, pour s décrivant G, des éléments χiδs. Les χi sont des entiers algébriques, par intégralité des caractères. D'autre part χi est, comme tout caractère, une fonction centrale sur G, ce qui démontre que u est un élément du centre de K[G]. Comme ses coordonnées dans la base canonique sont des entiers algébriques, la proposition précédente s'applique et g/di est un entier algébrique. Mais c'est aussi un nombre rationnel et donc un élément de Z, ce qui démontre que di divise l'ordre du groupe. (fr)
- * Chacune des représentations ρi : G → GL définit un morphisme, que l'on note encore ρi, de K[G] dans L, et l'on note ρ le morphisme de K[G] dans la somme directe des L. On note de plus fk les formes linéaires canoniques sur cette somme.
* Pour toute forme linéaire φ = ∑λkfk sur cette somme directe, si φ est nulle sur l'image de ρ, alors ∑λkmk = 0, où mk = fk∘ρ. Or il résulte du corollaire 4 de l'article « Lemme de Schur » que les mk forment une famille libre, ce qui entraîne la nullité de tous les λk donc de φ. Ceci prouve que l'image de ρ n'est incluse dans aucun hyperplan, donc que ρ est surjectif.
* Si un élément f de K[G] est dans le noyau de ρ, c'est-à-dire dans le noyau de tous les ρi, alors f est aussi dans le noyau du morphisme λ : K[G] → L associé à la représentation régulière puisque celle-ci est, comme toute représentation de G, somme directe d'irréductibles. Puisque λ est nulle, l'image par λ de l'élément δ1 de K[G] l'est aussi, or cette image n'est autre que f. Ceci prouve que ρ est injectif. (fr)
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| rdfs:comment
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- En mathématiques, l'algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini. Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la multiplication des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une algèbre semi-simple, elle dispose de toute une théorie dont le théorème d'Artin-Wedderburn est le pilier. (fr)
- En mathématiques, l'algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini. Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la multiplication des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une algèbre semi-simple, elle dispose de toute une théorie dont le théorème d'Artin-Wedderburn est le pilier. (fr)
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