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著者について

竹内外史（たけうちがいし）
1926年石川県に生まれる。東京大学数学科卒業。東京大学講師、プリンストン高級研究所所員、東京教育大学教授、イリノイ大学教授を経て、現在イリノイ大学名誉教授。専門は数学基礎論。現在はコンピュータの多項式時間の計算を数理論理学的に研究中。朝日賞、大川出版賞を受賞。またチェコ科学アカデミーよりボルツァノ・メダルを授与された。『ゲーデル（新版）』『PとNP』（以上、日本評論社）『証明論と計算量』（裳華房）、『直観主義的集合論』（紀伊国屋書店）ほか著書も多い。

登録情報

出版社 ‏ : ‎ 講談社 (2001/5/18)
発売日 ‏ : ‎ 2001/5/18
言語 ‏ : ‎ 日本語
新書 ‏ : ‎ 256ページ
ISBN-10 ‏ : ‎ 4062573326
ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4062573320
寸法 ‏ : ‎ 11.4 x 1.2 x 17.4 cm

カスタマーレビュー:

4.3 56個の評価

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竹内外史

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Enriques_Castelnuovo
素朴集合論から公理的集合論へ
2019年7月4日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
私の手元に１冊の本があります。それは
Joseph Warren Dauben （1944－）
によるカントールの伝記
"GEORG CANTOR
His Mathematics and
Philosophy of the Infinite"
（1979 Harvard University Press
1989 Paperback reprinting
Princeton University Press) です。
本書は竹内外史（1926－2017）による
『集合とはなにか』（初版1976）の
新装版（2001 講談社ブルーバックス）です。
カントールの伝記が付け加わったのが
初版と異なる点です。

内容は次の通りです。
①まえがき
②復刊にあたって
③読者へのアドバイス
④第１章　立場の変換－－翻訳語としての集合
⑤第２章　天地創造－－楽園追放
⑥第３章　公理的集合論－－現代数学の基盤
⑦第４章　現代集合論－－華麗なる展開
⑧第５章　未来への招待－－私の立場から
⑨カントール
⑩あとがき
⑪記号表
⑫さくいん
‥です（番号は私が振りました）。

本書は
講談社ブルーバックスの一冊なので
専門書でもなければ教科書でもありません。
著者が上述「読者へのアドバイス」で
言及されているように
記号や式の使用は「最小限度」にとどめ
と言って
通俗化して好奇心だけをつのらせることも
ないように配慮して書かれています。

例えば最近上梓された
田中一之氏（1955－）
『数学基礎論序説』
副題：数の体系への論理的アプローチ
（裳華房 2019.6.15）と比較いたしますと
記述スタイルが全く違います
（そもそも専門書と啓蒙書を比較することが
無意味であることはご海容お願いします）。

竹内はもともと
数学基礎論（foundations of mathematics）
（クリーネなら metamathematics）
なかでも
証明論（proof theory）の専門家です。
長く米国のイリノイ大学で教鞭をとられたので
（イリノイ州は米国の中部、シカゴのある州）
数理論理学（mathematical logic）を研究する
「ロジシャン」（logician）
という呼称が適切であったかもしれません。
事実、著者による
『現代集合論入門』（日本評論社 1971）の
第１章は「序章 Logocians 小伝」と題し
ゲーデル（1906－1978）
フレンケル（1891－1965）
ベルナイス（1888－1977）
をはじめとする９人の「ロジシャン」の
印象をスケッチされています。

ノーベル賞（1965）物理学者
朝永振一郎（1906－1979）は
「くりこみ理論」の大家ですが
日本語表現にもすぐれ
多くの随筆や啓蒙書を残しました。
同様に
竹内も独特の日本語表現にすぐれ
（朝永とは全く別の文体で）
啓蒙的文章・記事・書籍を残しました。

本書もその一環です。
その意味において
良い意味でも悪い（？）意味でも
竹内らしさ（考え方や指向）が反映された
入門書・啓蒙書となっています。
波長が合うみなさんには読みやすく
そうでない場合にはそうでないかも
しれません。
しかるに客観的に見ても
第２章　→　第３章＋第４章前半
は「素朴集合論」から「公理的集合論」への
自然な橋渡しになっていると思います。
素朴集合論と公理的集合論は断絶したものではなく
素朴集合論を勉強したらあと一歩進んで
公理的集合論まで勉強したほうが
数学全体のイメージをつかめると思います。

第２章の章題は
旧約聖書を意識した命名になっています。
ヒルベルト（1862－1943）が
カントールの集合論について
「なんぴともカントールが創りたもうた
楽園からわれわれを追放することはできない」
と国際数学者会議で述べたことを踏まえ
素朴集合論の建設と
そのパラドックス（３つ）を
「天地創造」と「楽園追放」に
例えた命名法です。
「楽園追放」は英語で
"Paradise Lost"（パラダイス・ロスト）
ですから以前は
「失楽園」と訳されることが
多かったものです。その意味は
「失＋楽園」＝楽園を失う＝「楽園追放」
です。英国の詩人
ミルトン（1608－1674）による
叙事詩「失楽園」（パラダイス・ロスト）
が有名ですが日本では
旧約聖書と関係ない小説・映画のほうが
有名かもしれません。
「失楽＋園」と勘違いされている方も多いです。

本書に戻りますと
その白眉は
素朴集合論での３つのパラドックス
１）順序数全体の集合を考えるもの
２）集合全体の集合を考えるもの
３）ラッセルの集合を考えるもの
（ラッセルのパラドックス）
を検討し、そこから
「どのような集合が想定されるか」
という考察のもとに
公理的集合の話に進んでいくところ
だと思います
（あくまで個人の感想です）。

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20人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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レポート
鈴木孝利
きれいな状態でした
2013年10月24日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
本が新しくしっかりしていました。十分気に入るものでした。満足しています。

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3人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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レポート
横溝　耕助
内容が充実している。
2023年10月8日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
商品の内容が商品説明と一致していました。満足です。

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役に立った

レポート
Kindleのお客様
できれば論理とは何か？証明とは何か？も書いて欲しい
2023年3月1日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
集合とは何か？を非常に論理的に解説されています。

他の方のコメントで集合を思考の対象と呼んでいますが
より正確に本書の説明では

「性質を思考の対象にしたもの」と書いた方が正しいかもしれません。

とても良かったので論理とは何か？証明とは何か？を書いて欲しいです。

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3人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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レポート
一本気
論理的、ロジックとは？
2015年11月27日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
論理的、ロジックとは？、そもそも何からはじまっているのか、興味がありました。終戦のころ、ICの原型が出来上がり、その後集積度を上げていくのですが、その概念を創り上げた元々のことを、想像して読みました。

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2人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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レポート
caritas77
カントール伝
2021年2月2日に日本でレビュー済み
巻末に、カントールの伝記が付されています。教会のなかに、カントールの主張に対する支持者があらわれたことを書き留めてあります。この点は、満足です。

集合を初等教育において学び始めて、圏論における「射」の感覚をつかむところまでいくには、どこかで、数学的考察そのものへの関心と共感とを必要とする瞬間があるのだと思います。わたしの場合は、祖父が数学好きで、孫のために『解放のテクニック』を買い求めて、休日などに暇つぶしに付属問題など解いてみせていたことが、きっとその飛躍のきっかけになったのだと思います。祖父のことが好きだから、数学にも関心をもったのだと思います。従姉妹のひとりは実際に数学科を卒業して、メーカーのコンピュータ管理部門にいます。

もうひとつ何か求めるべきものがあるとすれば、類推に関する基礎過程をわがものとする瞬間なのでしょう。こちらは、なかなかやかましい議論にいたりますので、ちょっと雑談では無理かもしれません。

そんなことを思いました。

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1人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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ZERON
勉強してから読み直してほしい本
2011年5月28日に日本でレビュー済み
集合と論理をそれなりに勉強された方がレビューを書いた人にいらっしゃらないようなので僭越ながら私が書かせて頂きます。

この本は集合の専門書ではありません。（ブルーバックスの性質として当たり前ですが・・・）ですからそもそも専門書のような網羅的な集合論の公理や定理、証明などは乗っていません。（全く書いていないということではないのですが専門書のレベルとしてです。）そのような本のレビューに厳密でないとか書かれていますがいったい何を持って厳密と言っているのか理解に苦しみます。専門書のように書いていないのが厳密と言う意味でしょうか？少なくとも論理面から言って厳密でないようなことは言っていません。十分厳密です。もし厳密でないとするところがあるとするならそれば哲学的な集合の考え方であり、それは竹内先生の集合論の見方であり数学ではないので厳密どうのこうのはいえません。数学にとってはどうでもいいところです。

この本の良さは先に述べた哲学的なところにあります。この本は表題にあるように「集合とは何か」という哲学的なとうに対し数学基礎論の権威であせられる竹内先生のお考えが書かれています。それは私のような集合を一通り勉強をした者にとっては目から鱗の連続です。

本当はこの本でどのようなことが書いてあるのかみてほしいのですが私の言葉足らずのために少々書きたいと思います。

集合とはいわば「思考の対象」と書かれています。それはある物（集合の元）の持っている性質を固有の属性として出はなくその性質を「思考の対象」としたのです。実はこの「性質をもったある物」というのは論理学で言う真の命題であるといえます。（ある物が注目する性質を持っていなければ偽の命題です。）つまりこの時点で何故集合は論理学で表せるかという勉強した人なら抱く疑問を解決すると同時に集合は性質についてその性質をもつ元を（集合として）見ることで性質を理解する。ということは集合とは元をしらべることにより性質というものを調べるための思考の操作であるという結論に達するのです。

よって集合を理解するのは論理学的な証明が不可欠であるという必要性が理解できるようになるのが本書の特徴です。そのために論理的な厳密な証明の例がいくつか書かれています。（この本に書かれているような厳密な証明方法はなかなかできる方がいません。）また集合と論理学の取り扱う内容の違いも書かれています。（これはかって読んでください。）

この本はいわば歴史的建造物を見るときのガイド本と同じです。集合論をやる上では集合を実感できます。ですがその見ている物がいったい何なのか知ることは難しいです。しかし長年集合にふれていらっしゃる竹内先生の思考を通して今まで扱っていた物の実態がより一層実感できるようになるのです。

初学者にはとばし読みされがちなところが実はこの本の一番重要な箇所なのです。

もっと深いことがたくさん書かれていますのでぜひ皆さんに読んで頂きたいです。

★が少ないのはこの本に書いてあることがもっとしっかりした本にも書いてほしいので何故ブルーバックスということです。

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24人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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AAA
全く不親切
2023年9月23日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
初めて集合について知ろうという人が、記号や概念について確信を得られるだけの最低限の説明がなされていない。
すでに知っている人には十分かもしれませんが、それではこの本を読む必要はないでしょう。
普通の数学書を読む方がよほど親切丁寧に教えてくれます。

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2人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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