Hoërskool Natuur- en Skeikunde/Deel 3-1: Meganika

Beweging in Twee Dimensies

Hierdie hoofstuk handel oor die vertikale projektielbeweging asook beweging in twee dimensies. Die behoud van momentum in twee dimensies sal ook ondersoek word.

Projektielbeweging

Voorheen is daar gekyk na die beweging van voorwerpe wat vryval, en waargeneem dat so 'n voorwerp onderworpe is aan gravitasieversnelling, g. In hierdie afdeling gaan die beweging van voorwerpe wat in die lug opwaarts gegooi, en dan terugval aarde toe, bestudeer word. Laasgenoemde tipe beweging word projektielbeweging genoem, en vir hierdie waarneming sal daar net gekyk word na voorwerpe wat loodreg opwaarts en terug afwaarts beweeg, dus geen horisontale verplasing van die voorwerp word waargeneem nie, slegs die vertikale verplasing.

Beweging in 'n Gravitasieveld

Wanneer 'n voorwerp in 'n gravitasieveld beweeg, sal die voorwerp altyd afwaarts versnel met 'n konstante versnelling g, ongeag die voorwerp se beweging opwaarts of afwaarts.

Voorwerpe wat op- of afwaarts beweeg sal altyd afwaarts versnel in 'n gravitasieveld.

Dit beteken dat, indien die voorwerp opwaarts beweeg, sal die snelheid daarvan verminder tot dit stop (v_f = 0 m.s^-1). Dit is dan die maksimum hoogte wat so 'n voorwerp kan bereik, en na daardie oomblik sal die begin terugval na die aarde.

(a) 'n Voorwerp word opwaarts gegooi vanaf 'n hoogte h₀. (b) Na 'n sekere tydsverloop t_m bereik die voorwerp 'n maksimum hoogte en begin dan terugval Aarde toe. (c) Na 'n tyd 2 × t_m bereik die voorwerp weer die oorspronklike hoogte by h₀.

Beskou 'n voorwerp wat opwaarts gegooi word vanaf 'n vertikale hoogte h₀. Daar kan waargeneem word hoe die voorwerp opwaarts beweeg met 'n afnemende snelheid tot dit vir 'n oomblik stop, die voorwerp se maksimum hoogte, en dan daarna begin val. Die tyd wat dit vir die voorwerp neem om weer afwaarts terug te val na hoogte h₀ is dieselfde as die tyd wat dit die voorwerp geneem het om die maksimum hoogte vanaf h₀ te bereik.

Bewegingsvergelykings

Voorheen is die bewegingsvergelykings gebruik vir die verduideliking van 'n voorwerp in vryval. Hierdie vergelykings kan ook gebruik word vir projektielbeweging. Dit is eenders aan die bewegingsvergelykings wat voorheen afgelei is, maar met a = g. Vervolgens sal g = 9,8 m.s^-2 vir berekeninge gebruik word.

$v_{i}$ = beginsnelheid (m.s^-1) by tyd t = 0

$v_{f}$ = eindsnelheid (m.s^-1) by tyd t

$\Delta x$ = hoogte bokant die grondoppervlak (m)

$t$ = tyd (s)

$\Delta t$ = tydinterval (s)

$g$ = gravitasieversnelling (m.s^-2)

$v_{f}=v_{i}+gt\,\!$

$\Delta x={\frac {(v_{i}+v_{f})}{2}}t$

$\Delta x=v_{i}t+{\frac {1}{2}}gt^{2}$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2g\Delta x$

Grafieke van Vertikale Projektielbeweging

Vertikale projektielbeweging is eenders aan beweging teen 'n konstante versnelling, wat reeds voorheen bespreek is. Die grafieke vir vertikale projektielbeweging is daarom identies aan aan die grafieke van beweging onderhewig aan konstante versnelling. Wanneer die grafieke vir vertikale projektielbeweging geteken word, moet daar twee gevalle in gedagte gehou word: die voorwerp wat opwaarts beweeg en dan dieselfde voorwerp wat daarna van rigting verander en afwaarts beweeg. Indien die opwaartse rigting positief gekies word, kan die grafieke gevolglik die verandering van verplasing, snelheid en versnelling aandui.

Hierdie grafieke toon die (a) verplasing, (b) snelheid en (c) versnelling van 'n voorwerp wat opwaarts gegooi word teenoor tyd. Die voorwerp word opwaarts gegooi met 'n beginsnelheid van v_i. Dit neem die voorwerp 'n tyd van t_m om die maksimum hoogte h_m te bereik, en dan terug te val na die grond toe. Let op hoe die versnelling konstant en negatief bly gedurende die voorwerp se beweging.

Verandering in verplasing
In hierdie geval vorm die grafiek van verplasing teenoor tyd 'n onderstebo “U” waar die verplasing by 'n hoogte gelyk aan nul begin (h₀ = 0). Soos die voorwerp opwaarts beweeg neem die verandering van hoogte teenoor tyd af, totdat die kurwe afplat, waar die voorwerp se snelheid gelyk is aan nul, en die maksimum hoogte (h = h_m) bereik is wat ook ooreenstem met die tyd van maksimum hoogte (t_m). Vandaar beweeg die voorwerp afwaarts tot dit weer die oorspronklike hoogte, h₀ = 0 bereik, wat ooreenstem met die tyd t_f.

Verandering in snelheid
Met die verandering in snelheid teenoor tyd is dit belangrik om daarop te let dat:

1. Die opwaartse snelheid was gekies as positief,
2. Die voorwerp begin met 'n positiewe snelheid êrens op die y-as (v_i),
3. Die voorwerp se snelheid neem af tot dit nul bereik teenoor die maksimum hoogte daarvan (v = 0 by h_m en t_m),
4. Die voorwerp beweeg dan in die teenoorgestelde rigting, daarom 'n negatiewe snelheid, tot dit die grond bereik met v_f by t_f.

Verandering in versnelling
Soos wat die voorwerp beweeg is a = g, met die opwaartse rigting gekies as positief. Omdat die gravitasieversnelling van die aarde afwaarts is en nie verander nie, sal die versnelling van die voorwerp regdeur die beweging daarvan konstant en negatief bly.

Behoud van Momentum in Twee Dimensies

Daar is voorheen bespreek dat momentum in 'n spesifieke sisteem bewaar word indien daar nie ander eksterne kragte bestaan wat op daardie sisteem inwerk nie. In teenstelling daarmee, 'n eksterne krag veroorsaak 'n verandering in momentum, oftewel Δp, met 'n impuls vanaf 'n krag wat daarop inwerk, F vir 'n tyd Δt soos gegee deur:

$\Delta p=F\cdot \Delta t$

Dieselfde beginsels vir die bewaring van momentum in een dimensie soos gestudeer geld vir toepassings van probleme vir die bewaring van momentum in twee dimensies. Die berekening van momentum in twee dimensies is dieselfde as vir een dimensie. Vir die berekeninge in twee dimensies word die momentum opgebreek in die momentum se x- en y-as komponente. Die beginsel van die behoud van momentum word dan toegepas op die onderskeie komponente.

Beskou twee bewegende voorwerpe wat na mekaar beweeg. Die situasie kan geanaliseer word deur die x en y-komponente van elkeen se momentum te bereken.

Totale momentum van die sisteem voor die botsing.

Voor die botsing
Totale momentum:

$p_{i1}=m_{1}v_{i1}$

$p_{i2}=m_{2}v_{i2}$

x-komponent van die momentum:

$p_{i1x}=m_{1}v_{i1x}=m_{1}v_{i1}\cos \theta _{1}$

$p_{i2x}=m_{2}u_{i2x}=m_{2}v_{i2}\sin \theta _{2}$

y-komponent van die momentum:

$p_{i1y}=m_{1}v_{i1y}=m_{1}v_{i1}\cos \theta _{1}$

$p_{i2y}=m_{2}v_{i2y}=m_{2}v_{i2}\sin \theta _{2}$

Totale momentum van die sisteem na die botsing.

Na die botsing
Totale momentum:

$p_{f1}=m_{1}v_{f1}$

$p_{f2}=m_{2}v_{f2}$

x-komponent van die momentum:

$p_{f1x}=m_{1}v_{f1x}=m_{1}v_{f1}\cos \phi _{1}$

$p_{f2x}=m_{2}v_{f2x}=m_{2}v_{f2}\sin \phi _{2}$

y-komponent van die momentum:

$p_{f1y}=m_{1}v_{f1y}=m_{1}v_{f1}\cos \phi _{1}$

$p_{f2y}=m_{2}v_{f2y}=m_{2}v_{f2}\sin \phi _{2}$

Behoud van momentum
Die aanvanklike momentum is gelyk aan die eindmomentum:

$p_{i}=p_{f}$

$p_{i}=p_{i1}+p_{i2}$

$p_{f}=p_{f1}+p_{f2}$

Die bostaande vorm die basis van enige momentum analise en die behoud van momentum in twee dimensies.

Tipes Botsings

Daar bestaan twee tipes botsings wat van toepassing op momentumbehoud is:

• elastiese botsings, en
• onelastiese botsings.

Vir beide tipes botsings sal die totale momentum altyd behoue bly. Kinetiese energie word bewaar in elastiese botsings, maar nie vir onelastiese botsings nie.

Elastiese Botsings

Definisie van elastiese botsings: 'n elastiese botsing is 'n botsing waar die totale momentum en totale kinetiese energie behoue bly.

Die bostaande definisie beteken dat vir 'n elastiese botsing die totale momentum en totale kinetiese energie voor die botsing dieselfde sal wees as na die botsing. Vir hierdie tipe botsings sal die kinetiese energie nie verander na 'n ander tipe energie nie.

Twee voorwerpe voor hulle bots.

Voor die botsing
Voor twee voorwerpe bots is die totale momentum van die stelsel gelyk aan die som van die individuele momentums.
Gestel voorwerp 1 het 'n momentum van p_i1 en voorwerp 2 het 'n momentum van p_i2, sal dit beteken dat die totale momentum voor botsing:

$p_{i}=p_{i1}+p_{i2}$

Die kinetiese energie kan op dieselfde wyse bereken word. Voorwerp 1 het 'n kinetiese energie gelyk aan KE_i1 en voorwerp 2 het 'n kinetiese energie gelyk aan KE_i2. Dit beteken die totale kinetiese energie voor die botsing is:

$KE_{i}=KE_{i1}+KE_{i2}$

Twee voorwerpe nadat hulle gebots het.

Na die botsing
Na die botsing bons die twee voorwerpe weg van mekaar af; albei besit nuwe momentums en nuwe kinetiese energieë. Soos voorheen is die totale momentum van die sisteem gelyk aan die som van al die individuele momentums.
Voorwerp 1 besit nou 'n momentum p_f1 en voorwerp 2 besit 'n momentum p_f2. Dit beteken dus dat die totale momentum na die botsing is:

$p_{f}=p_{f1}+p_{f2}$

Voorwerp 1 het nou 'n kinetiese energie gelyk aan KE_f1 en voorwerp 2 se kinetiese energie is KE_f2, wat dus maak dat die totale kinetiese energie na die botsing is:

$KE_{f}=KE_{f1}+KE_{f2}$

Omdat hierdie botsing 'n elastiese botsing is, is die totale momentum voor die botsing gelyk aan die totale momentum na die botsing en die totale kinetiese energie voor die botsing is gelyk aan die totale kinetiese energie na die botsing, wat dus maak dat:

$Begin=Einde$

$p_{i}=p_{f}$

$p_{i1}+p_{i2}=p_{f1}+p_{f2}$

en

$KE_{i}=KE_{f}$

$KE_{i1}+KE_{i2}=KE_{f1}+KE_{f2}$

Nie-elastiese Botsings

Definisie van nie-elastiese botsings: 'n nie-elastiese botsing is 'n botsing waar die totale momentum en totale kinetiese energie nie behoue bly nie. Die kinetiese energie word omgeskakel na ander vorme van energie.

Die totale momentum voor 'n nie-elastiese botsing bly dieselfde na die botsing, maar die totale kinetiese energie voor en na die onelastiese botsing is verskillend. Dit beteken egter nie dat die totale energie bewaar word nie, maar eerder dat die energie omgeskakel word na 'n ander tipe energie. 'n Duimreël vir wanneer nie-elastiese botsings plaasvind is dat die botsende op 'n sekere wyse voorwerpe vervorm. Gewoonlik verander die vorm van so 'n voorwerp. Die verandering van die voorwerp se vorm verg energie en dit is waarheen die “vermiste” kinetiese energie verdwyn het. 'n Klassieke voorbeeld van 'n nie-elastiese botsing is 'n motorvoertuigongeluk. Die motors verander van vorm tydens 'n botsing, en daar is 'n waarneembare verandering in die kinetiese energie van die motors voor en na die botsing. Die energie was gebruik om die metaal te buig en die bakwerk te vervorm.

'n Asteroïde wat na die Maan beweeg - voor die botsing.

Gestel die voorbeeld van 'n asteroïde wat na die Maan beweeg word gebruik. Voor die asteroide teen die Maan bots is die totale momentum van die stelsel:

$p_{i}=p_{im}+p_{ia}$

Die totale kinetiese energie van die stelsel is:

$KE_{i}=KE_{im}+KE_{ia}$

Die asteroïde het met die Maan gebots en 'n krater gevorm.

Wanneer die asteroïde onelasties bots teen die Maan, sal die kinetiese energie daarvan omgeskakel word na meestal hitte-energie. Indien die hitte-energie groot genoeg is, kan dit veroorsaak dat die asteroïde en gebied wat die asteroïde op die Maan se oppervlak tref begin smelt! Vanaf die krag van die asteroïde se impak kan die gesmelte rots uitwaarts vloei en 'n krater op die Maan vorm. Na die botsing is die totale momentum van die stelsel dieselfde soos voorheen, maar omdat die botsing onelasties is (wat waargeneem word deur die verandering van die voorwerpe se vorm), is die kinetiese energie nie dieselfde as voor die botsing nie. Momentum bly behoue:

$p_{i}=p_{f}$

Maar die totale kinetiese energie van die stelsel bly nie behoue nie:

$KE_{i}\neq KE_{f}$

Verwysingsraamwerke

Inleiding

'n Illustrasie van 'n motor wat van Oos na Wes beweeg. Persoon A is Suid van die pad, en B Noord.

Verwysingsraamwerke kan geïllustreer word deur die voorbeeld van 'n motor wat van Oos van Wes beweeg, en twee persone A en B wat onderskeidelik Suid en Noord van die aankomende motor staan. Vir die B wat na die Suide kyk beweeg die motor na regs, maar vir persoon A wat na die Noorde kyk, beweeg die motor na links. Hierdie verskil van die persone se sienings aangaande die beweging van die motor word veroorsaak deur elkeen se unieke verwysingsraamwerk met betrekking tot die stelsel. Indien elke persoon gevra sou word in watter rigting die motor beweeg, sou elkeen 'n verskillende antwoord gee. Die antwoord sou relatief tot elkeen se verwysingsraamwerk wees.

Wat is 'n Verwysingsraamwerk?

Definisie van 'n verwysingsraamwerk: 'n verwysingsraamwerk is die spesifieke oogpunt waaruit 'n stelsel waargeneem word.

Prakties gesproke is 'n verwysingsraamwerk 'n stel asse (wat rigtings spesifiseer) met 'n oorsprong. 'n Waarnemer kan dan die posisie en beweging van alle punte in 'n stelsel peil, asook die oriëntasie van voorwerpe in die stelsel relatief tot die verwysingsraamwerk. Daar bestaan twee tipes verwysingsraamwerke: traagheid en nie-traagheid. 'n Traagheidsverwyssingsraamwerk beweeg teen 'n konstante snelheid, wat beteken dat Newton se Eerste Wet (traagheid) waar is. 'n Nie-traagheidsverwysingsraamwerk, soos 'n bewegende motor of 'n roterende mallemeule, versnel. Daarom is Newton se Eerste Wet nie waar vir nie-traagheidsverwysingsraamwerke nie, soos voorwerpe wat skynbaar versnel sonder die gepaste kragte wat daarop inwerk.

Waarom is Verwysingsraamwerke Belangrik?

Verwysingsraamwerke is belangrik omdat, soos daar in die inleiding se voorbeeld geïllustreer is, die snelheid van 'n voorwerp kan verskil vanweë die verwysingsraamwerk wat gebruik word.

Uitbreiding van die onderwerp:

Verwysingsraamwerke is veral van belang in spesiale relatiwiteit - indien só 'n verwysingsraamwerk teen 'n beduidende breukdeel van die spoed van lig beweeg, sal die verloop van tyd nie noodwendig van toepassing wees op ander verwysingsraamwerke nie. Die spoed van lig word beskou as die enigste werklike konstante tussen verwysingsraamwerke.

Relatiewe Snelheid

Die snelheid van 'n voorwerp is raamwerk-afhanklik. Meer spesifiek, die waargenome snelheid van 'n voorwerp is afhanklik van die snelheid van die waarnemer. Byvoorbeeld, 'n persoon wat op die strand staan en die snelheid van 'n boot in die water waarneem sal verskillend wees van die waarneming van 'n passasier op dieselfde boot.

Werk, Krag en Energie

Inleiding

Gestel 'n straatverkoper dra 'n mandjie vol vrugte op haar kop. Doen sy enige werk? Oënskynlik sal sy werk doen, maar in Fisika is dit nie die geval nie! Weereens, gestel 'n seun wat teen 'n muur stoot. Is hy besig om enige werk te doen? Daar sal waarskynlik waargeneem word hoe sy spiere saamtrek, en hy mag selfs sweet. Maar in Fisika doen die seun geen werk nie!

Indien die straatverkoper die mandjie vir 'n baie lang afstand dra mag daar dalk 'n opmerking gemaak word dat sy baie energie het, wat beteken dat sy baie stamina besit. Indien 'n motor baie vinnig beweeg kan dit beskryf word as baie kragtig, oftewel dit besit baie drywing. Dus is daar 'n verband tussen spoed en drywing. In Fisika beteken drywing egter iets anders. Hierdie hoofstuk beskryf die verband tussen werk, energie en drywing.

Werk en energie is verwant aan mekaar. Die energie van 'n voorwerp is die kapasiteit daarvan om werk te verrig, en om werk te verrig is die proses van energie-omskakeling vanaf een vorm na 'n ander. Met ander woorde,

• 'n voorwerp met baie energie kan baie werk doen, en
• wanneer werk gedoen word, word energie verloor deur die voorwerp wat die werk verrig en opgeneem deur die voorwerp waarop die werk gedoen word.

Deur 'n voorwerp op te tel of te gooi vereis dat werk gedoen moet word — werk word op die voorwerp gedoen. Selfs met die opwekking van elektrisiteit vereis dat 'n vorm van werk verrig moet word. Iets moet energie besit en dit oordra deur werk te doen sodat dinge kan gebeur.

Werk en Krag

Definisie van werk: wanneer 'n krag op 'n voorwerp uitgeoefen word, en dit die voorwerp laat beweeg, word werk gedoen op die voorwerp, tensy die krag en verplasing loodreg is teenoor mekaar.

Die krag F veroorsaak dat die voorwerp met 'n afstand Δx verplaas word teen 'n hoek θ.

Dit beteken dat om werk te doen, moet 'n voorwerp 'n afstand d beweeg met 'n krag F wat daarop inwerk, op só 'n wyse dat daar 'n nie-nul komponent van die krag bestaan in die rigting van die verplasing. Werk word dan bereken as:

$W=F\cdot \Delta x\cos \theta$

waar

F die toegepaste krag is,

Δx is die verplasing van die voorwerp, en

θ is die hoek tussen die toegepaste krag en die rigting van die beweging.

Dit is baie belangrik om daarop te let dat vir werk wat gedoen word daar 'n komponent van die krag in die rigting van die beweging moet wees. Kragte loodreg tot die rigting van beweging doen nie werk nie.

(a) Die krag F veroorsaak dat die voorwerp verplaas word met Δx in dieselfde rigting van die krag. θ = 180° en cosθ = 1. Werk word wel hier gedoen. (b) 'n Krag F werk in op 'n voorwerp. Die voorwerp word verplaas met Δy loodreg teen die krag. θ = 90° en cosθ = 0. Werk word egter nie hier gedoen nie.

Belangrik: Die betekenis van θ is die hoek tussen die krag vektor en die veplasingsvektor. Vir die volgende gevalle is θ = 0°:

Soos met alle fisiese mates moet werk eenhede hê. Soos vanuit die definisie van werk word dit gemeet in N·m. Die naam wat vir hierdie kombinasie van SI-eenhede gegee word is die joule (simbool: J).

Definisie van joule: 1 joule is die werk wat verrig word wanneer 'n voorwerp 1 meter beweeg met 'n krag gelykstaande aan 1 newton wat daarop inwerk, in die rigting van die beweging.

Die werk wat deur 'n voorwerp gedoen word kan positief of negatief wees. Sedert die krag (F) en verplasing (s) albei vektore is, is die uitslag van die bogenoemde vergelyking afhanklik van die rigtings:

• Indien F in dieselfde rigting as die beweging inwerk sal positiewe werk gedoen word. In hierdie geval sal die voorwerp waarop die krag inwerk se energie toeneem.
• Indien die beweging en F se rigtings teenoorgesteld is, sal negatiewe werk gedoen word. Dit beteken energie word oorgedra in die teenoorgestelde rigting. Byvoorbeeld, indien 'n motor opwaarts teen 'n heuwel gestoot word deur 'n krag opwaarts, maar die motor beweeg afwaarts word daar negatiewe werk op die motor gedoen. Die teenoorgestelde daarvan is dat die motor positiewe werk op die persoon doen.

Werk en Meganiese Energie

Eksterne en Interne Kragte

In die Graad 10 sillabus was die behoud van meganiese energie ondersoek – meganiese energie bly behoue in die afwesigheid van eksterne kragte. Dit is belangrik om te weet of 'n krag intern of ekstern is, omdat dit bepaal of 'n krag die vermoeë beskik om 'n voorwerp se totale meganiese energie te beïnvloed wanneer daar werk op die voorwerp gedoen word.
Wanneer 'n eksterne krag (soos wrywing, lugweerstand, en kragte wat op 'n voorwerp inwerk) op 'n voorwerp inwerk sal die totale meganiese energie (die kinetiese energie en die potensiële energie) van die voorwerp verander. Indien positiewe werk verrig word, sal die voorwerp energie wen. Indien negatiewe werk verrig word, sal die voorwerp energie verloor. Die wins of verlies van energie kan in die vorm van kinetiese of potensiële energie, of albei, geskied. Die werk wat egter gedoen word is gelyk aan die verandering van die voorwerp se meganiese energie.
Wanneer 'n interne krag op 'n voorwerp inwerk (soos gravitasie- en veerkragte), sal die totale meganiese energie (die kinetiese en potensiële energie) van die voorwerp konstant bly, maar die voorwerp se energie kan van vorm verander.