日曜数学者のbutchi氏が準加算なるものを考察していらっしゃるため、ここにまとめを作っておきます。議論の場となれば幸いです。 注意 当ブログでは基本的に自然数といえば正の整数を意味していますが、この記事においては以上の整数を自然数とよぶことにし、自然数全体のなす集合をで表します。に関するPeano算術は仮定します。 Motivation を正の整数とするとき、 が成り立つ。として、とどんどん新しい演算を定義できる(Knuthの記号*1 )。 それでは、逆方向に向かって -①を満たすようなを考えることができるであろうか？ こののことをbutchi氏は準加算と呼んでます。以下、準加算の暫定的な定義を与え、その基本性質を列挙しましょう。 Knuthの記号のときと違って、①だけでは上の二項演算は即座には定まらない点が難しい点です。ここでは、交換法則と分配法則が成り立つような定義を試みています。

この記事は非公開化されました。 integers.hatenablog.com 非公開前の内容要約: 位相空間の定義、有限位相空間の数値例、位相空間を用いた素数の無限性の証明(by Furstenberg)の紹介。

ちょっと前に、どこかの誰かが「サイン、コサイン、タンジェントを教えて何になるのか」と発言したことが大きく話題になっていましたね。 私はその話を聞いて、エジプトからの留学生（すみません、彼の名前を忘れてしまいました！）から聞いた「サイン、コサインの話」を思い出しました。 それを聞いた私は、「へぇ～、すごい！　いいこと教えてもらった！」と強く感動したのでした。 簡単に言うと、主要な角に関するサイン、コサインの値の覚え方なんです。 エジプトの学生が苦労しているのを見て、まずはこんなところから興味を持ってもらえたらと思ったそうです。 サイン、コサインをすこしでも使いこなせるようになろうと思ったら、せめて、次の５つの角の値については、スッ～と出てくるくらいでないとなりません。 0ﾟ、30ﾟ、45ﾟ、60ﾟ、90ﾟ まあ、中学３年生の数学で学習する、直角二等辺三角形、30ﾟ、60ﾟ、90ﾟの直角三角形

一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。 これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。 ↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。 ↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。 後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。 これでも、なんだかよくわからない。 まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。 まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。 続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。 壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて

6匹のスコティッシュ・テリアが丸いトレイで大好きなヤギのお乳を飲みます。トレイは6匹の頭がピッタリと収まるサイズで、誰かが飲めないと言う事はないのですが、一匹の犬が隣の犬をちょっと押すと言う全体の相互作用により、6匹の犬がクルクルと回転し始めます。 Scottie Pinwheel - YouTube https://www.youtube.com/watch?v=vDa0z0gEvI4 シンクロ具合が見事です。同じ犬種、かつ、同じ大きさの犬同士じゃないと、この回転は生まれないと思います。動画のコメントにはないですが、おそらく同じ時期に生まれた兄弟でしょうね。

ニコニコ動画の複雑系コミュニティの発起人のはむくんがライフゲームの世界というとても面白い動画を投稿されています。Twitterでは何度かツイートしてたけど完結したのでブログでも紹介させていただきます。 ライフゲームの世界1 John Horton Conwayが提案したライフゲーム（Conway's Game of Life）の基本的なルールを解説しています。また頻繁に現れる4種の物体（ブロック、蜂の巣、ブリンカー、グライダー）を紹介しています。最後の作品紹介は、P416 60P5H2V0 gunというすさまじいパターンが出てきます。グライダー銃から発射したグライダーたちが滑走路を通ります。グライダーの集合先では、発射された複数のグライダーが合体して宇宙船が組み立てられます。 ライフゲームの世界2 いろんな振動子（パルサー、タンブラー、銀河）が鑑賞できます。作品紹介では大量の振動子が勢揃い

ロシアの子どもたちが十代はじめから夢中になって取り組んだ，とっておきの問題がぎっしり．解くのに求められるのは中学レベルの知識と考えつづける根気，そしてやわらかな頭です．第1巻は，論理問題にはじまり，組み合わせ，整除と余り，鳩の巣箱の原理，グラフ，三角不等式，ゲームなどをあつかいます．（解説＝佐藤雅彦）（全3冊） ■内容紹介 ロシアの子どもたちが十代はじめから夢中になって取り組んだ，とびきりユニークな数学問題集をお届けします．解くのに求められるのは中学レベルの知識と考えつづける根気，そしてやわらかな頭です．テーマはパリティ，グラフ，組み合わせ，数学的帰納法，不等式など．解き方がふっと見えたときの気分は最高！ 各冊の解説はテレビ番組「ピタゴラスイッチ」などでおなじみの佐藤雅彦さんにお願いしました．じつは佐藤さん，この問題集をテキストにした勉強会を，数学好きの学生さんたちと一緒につづけていらっし

前に、このブログで、「あれほど好きだった数論が、今ではあんまり興味がなくなった」というようなことを書いた。 でも、そうは言ったものの、やっぱりあれだ、ときどき思い出したように、数論の入門書を読んじゃったりするのだね。 この感じはなんと言ったらいいだろう。初恋の女の子のことをたま〜に夢に見ちゃったりする、のに近いかもしれない。起きたとき、少し動揺する。日常生活では思い出すことが全くないのに、夢に不意に登場されたりすると、自分さえ自覚してない自分の中にある未練みたいなものと直面したみたいで、めっちゃ恥ずかしくなる。でも、少しだけ甘酸っぱかったりもするものだ。 さて、そんな初恋の子の夢みたいな後ろめたさで、最近読んだ数論の本が、Chahal『数論入門講義〜数と楕円曲線』(織田進訳、共立出版)だ。 この本は、書店の数学コーナーを見回ってるときにたまたま手にした本。ぼくは、自分の本が書店でどう扱われ

Satoru Inoue @Inoueian ビール飲みながら聞かされた問題：相棒と2人でゲームに挑戦する。相棒はまず部屋の外にいる。敵は、チェスボードのますに1個ずつコインを置いていく。表裏は敵が選び、さらにますを1つ指定する。置いた後、あなたは1枚だけコインをどれか裏返していい。裏返さなくてもいい。（続く）

前回のエントリーが予想以上に反響が大きくてびっくりしています。 プログラミング言語好きの僕にとってはヒーローみたいなすごいプログラマーたちにツイートしてもらってびびっていたところ、今日になって竹内先生ご本人からのコメントをいただいてしまって本気で腰抜かしそうになりました。せっかくなので自分なりに竹内関数が音楽的に聴こえる理由についての考えを書いてみます。 ■ちょっとした工夫 最初に少し種明かしをすると、より音楽的になるように以下のような工夫をしています。 ・ダイアトニックスケール（白鍵）だけを使用し調性の外れた音が出ないようにした ・最小値(-1)をレにわりあてることで少し寂しげなドリアンスケールにした （とはいえ-1の出現頻度が低いのでミからはじまるフリジアンスケール的かも） ・オートアルペジオ、テンポ、音色の設定でミニマルミュージック風にした 上記のことをおこなうと、ただの乱数でもわり

Lisperの人ならみんな知ってる竹内関数（たらいまわし関数）という関数があります。 定義としてはこんな感じ。 そのシンプルな定義からは想像もつかないほど複雑で膨大な再帰呼び出しがおこなわれるとても興味深い関数です。たとえば引数にTarai(10,5,0)を与えると343,073回も再帰呼び出しされたりします。 この関数呼び出しの引数がどのように変化するか知りたくてプログラムを書いて調べてみたところ、Tarai(10,5,0)の場合は3つの引数がそれぞれ0〜10（xは-1〜10）の間で少しずつ変化するなかで、2つの値を固定してひとつの値が下降していくような挙動があったりして、なんだか音楽の3和音のコード進行を思わせるような動き方です。 そういうことなら、ということで実際に音にして聴いてみました。Tarai関数が呼ばれるたびに引数のx、y、zを、0=ミ、1=ファ、2=ソ、……、のように音に割