Contents Introduction What is a function? What is differentiation? Traditional strategies Symbolic differentiation Numerical differentiation Automatic differentiation Dual numbers Adding and multiplying Compatibility Other functions Conclusion Introduction Automatic differentiation is a clever trick that makes it easy to do differentiation on a computer. It’s a beautiful fusion of maths and comput
derivativeに関するnabinnoのブックマーク (31)
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nabinno 2016/09/24
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自動微分 - Wikipedia
自動微分は2種類に分けられ、それぞれ ボトムアップ型自動微分（フォーワード・モード、フォーワード・アキュムレーション、タンジェント・モード、狭義の自動微分） トップダウン型自動微分（リバース・モード、リバース・アキュムレーション、随伴モード、高速自動微分） と呼ばれる。 ボトムアップ型自動微分では連鎖律を内側から外側に計算し（∂w/∂xを計算した後で ∂y/∂w を計算する）、トップダウン型自動微分では外側から内側に計算する。 使い分けは、入力が n 次元、出力が m 次元とした場合、以下の違いがある。 n < m ならばボトムアップ型の方が計算量が少ない。ボトムアップ型の計算回数はn回。 n > m ならばトップダウン型の方が計算量が少ない。トップダウン型の計算回数はm回。 機械学習において、評価値はほぼ常に m = 1 の実数なので、トップダウン型が使われる。機械学習で用いられる多層パ
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微分 - Wikipedia
函数のグラフ（黒線）と函数が描く曲線の接線（赤線）。接線の傾きは接点上の函数の微分係数に等しい。 数学における実変数函数（英語版）の微分係数、微分商または導関数（どうかんすう、英: derivative）は、別の量（独立変数）に依存して決まる、ある量（関数の値あるいは従属変数）の変化の度合いを測るものであり、これらを求めることを微分（びぶん、英: differentiation）するという。微分演算の結果である微分係数や導関数も用語の濫用でしばしば微分と呼ばれる。 微分は解析学分野（特に微分積分学分野）の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。 一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点におけるグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適
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量子論 - Wikipedia
量子論（りょうしろん）とは、ある物理量が任意の値を取ることができず、特定の離散的な値しかとることができない、すなわち量子化を受けるような全ての現象と効果を扱う学問である。粒子と波動の二重性、物理的過程の不確定性、観測による不可避な擾乱も特徴である。量子論は、マックス・プランクの量子仮説（ドイツ語版）まで遡る全ての理論、モデル、概念を包括する。量子仮説は1900年に、例えば光や物質構造に対する古典物理学的説明が限界に来ていたために生まれた。 量子論は、相対性理論と共に現代物理学の基礎的な二つの柱である。量子物理学と古典物理学との間の違いは、微視的な（例えば、原子や分子の構造）もしくは、特に「純粋な」系（例えば、超伝導やレーザー光）において特に顕著である。しかし、様々な物質の化学的および物理的性質（色、磁性、電気伝導性など）のように日常的な事も、量子論によってしか説明ができない。 量子論には、
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波動方程式 - Wikipedia
波動方程式（はどうほうていしき、英: wave equation）とは、次の式で表される定数係数二階線形偏微分方程式のことである[1]。 波動方程式は音波、水面の波紋、電磁波などの様々な振動・波動現象を記述する際に基本となる方程式である。s は波動の位相速度 (phase velocity) を表す係数である。 3次元の場合、時刻 t における各位置の振動の変位を表す関数を u、振動の位相速度を s とすると、u は波動方程式 を満たす。[注 1]。 なお、記述される波動現象によって u の座標変数は変わってくるため、それに伴い波動方程式の形状も異なってくる。 1次元の波動方程式（主な現象：弦の振動[2]） 2次元の波動方程式（主な現象：膜の振動[2]） 振動・波動現象と呼ばれるものは一般に弦、膜、空気、水など媒質の振動現象を指し主に流体力学、弾性体力学の扱うところである。ただし、例外とし
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債券は上昇スタート、先物は史上最高値を更新－米債高で買い先行 - Bloomberg
（ブルームバーグ）：債券相場は上昇スタート。先物は史上最高値を更新した。前日の米国債相場が続伸したことや日本銀行が国債買い入れオペを実施するとの観測が手掛かりとなっている。 長期国債先物市場で中心限月の３月物は前営業日の９日終値比12銭高の148円32銭で開始し、前週末の夜間取引で記録した史上最高値148円30銭を上回った。一時148円38銭まで上昇し、最高値を更新した。 日本相互証券によると、現物債市場で長期金利 の指標となる新発10年物国債の337回債利回りは、９日午後３時時点の引値より１ベーシスポイント(bp)低い0.265％で開始。過去最低水準に並んでいる。 東海東京証券の佐野一彦チーフ債券ストラテジストは、米国市場の株安や長期金利低下が追い風だとし、「先週末は超長期ゾーンが調整したが、５年債利回りが0.01％に低下するなど全般的に地合いは持ち直し傾向にある」と指摘した。10
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Exchange-traded fund - Wikipedia
An exchange-traded fund (ETF) is a type of investment fund that is also an exchange-traded product, i.e., it is traded on stock exchanges.[1][2][3] ETFs own financial assets such as stocks, bonds, currencies, debts, futures contracts, and/or commodities such as gold bars. Many ETFs provide some level of diversification compared to owning an individual stock. An ETF divides ownership of itself into
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ヒルベルト空間 - Wikipedia
数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。 ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リー
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Wikipedia (JP) - 指数関数（exponential function）
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class Complex (Ruby 1.8.7)
クラスの継承リスト: Complex < Numeric < Comparable < Object < Kernel 要約 複素数を扱うためのクラスです。 このライブラリを require すると、Math モジュールが複素数対応に拡張されます。 対象となる複素数を以下のように極座標表示した時の z = a + b * i = r * exp(i * t) 偏角 t は[-π,π]の範囲であると考えて、関数は定義されます。 Complex#argを参照して下さい。 以下が複素関数の定義です。 abs(z) = r sqrt(z) = sqrt(r) * exp(i * t/2) exp(z) = exp(a) * exp(i * b) log(z) = log(r) + i * t sin(z) = (exp(i * z) - exp(-i * z)) / 2i cos(z) = (ex
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応用数学 - Wikipedia
^ a b c 『応用数理ハンドブック』（日本応用数理学会20周年記念出版）朝倉書店 2013. ^ “ハーディの本 (2) － 純粋数学と応用数学”. researchmap.jp. 2018年12月9日閲覧。 ^ Trefethen, L. N. (2019). Approximation theory and approximation practice (Vol. 164). SIAM. ^ Powell, M. J. D. (1981). Approximation theory and methods. Cambridge University Press. ^ Achieser, N. I. (2013). Theory of approximation. Courier Corporation. ^ a b Koblitz, N. (1994). A course in n
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特異点 - Wikipedia
特異点（とくいてん、英: singular point、シンギュラー・ポイント）は、一般解の点ではなく特異解の点のこと[1]。ある基準 (regulation)を適用できない、あるいは一般的な手順では求まらない(singular) 点である。特異点は、基準・手順に対して「—に於ける特異点」「—に関する特異点」という呼び方をする。特異点という言葉は、数学, 物理学およびその応用である制御工学などで用いる[2][3]。なおカタカナ語のシンギュラリティ[シングラリティ](singularity)は特異点、特異解を含む、幅広い概念を指すことがある。 科学[編集] 数学[編集] 特異点 (数学) 複素解析 孤立特異点 可除特異点 極 真性特異点 動く特異点 幾何学 曲線の特異点 代数多様体の特異点 有理特異点（英語版） 特異点論（英語版） その他 局所的な変換が一対一を保たない点。円座標平面 (r,
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複素解析 - Wikipedia
複素関数f(z) = (z2 − 1)(z − 2 − i)2/(z2+2+2i)のグラフ。色相は偏角を表し、明度（このグラフでは周期的に変化させている）は絶対値を表す。 数学の一分野である複素解析（ふくそかいせき、英: complex analysis）は、複素数上で定義された関数の微分法、積分法、変分法、微分方程式論、積分方程式論などの総称であり[1]、関数論とも呼ばれる[2][3][4]。初等教育以降で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することもある。複素解析の手法は、応用数学を含む数学全般、（流体力学などの）理論物理学、（数値解析[5][6]や回路理論[7]をはじめとした）工学などの多くの分野で用いられている。
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偏微分 - Wikipedia
数学(解析学)の多変数微分積分学における偏微分（へんびぶん、英: partial differentiation）は、多変数関数に対して一つの変数のみに関する（それ以外の変数は定数として固定する（英語版））微分である（全微分では全ての変数を動かしたままにするのと対照的である）。偏微分によって領域の各点で得られる微分係数と導関数はそれぞれ偏微分係数（へんびぶんけいすう、英: partial derivative）、偏導関数（へんどうかんすう）と呼ばれる。用語の濫用として、偏微分係数や偏導関数も偏微分と呼ばれる。偏微分はベクトル解析や微分幾何学などで用いられる。 函数 f(x, y, …) の変数 x に関する偏微分は など様々な表し方がある。一般に函数の偏微分はもとの函数と同じ引数を持つ函数であり、このことを のように記法に明示的に含めてしまうこともある。偏微分記号 ∂ が数学において用いら
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クレジットデリバティブ - Wikipedia
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