今日はオイラーが発見した， という多項式についてお話したいと思います。 ある特別な に対して，多項式の に整数 を入れていくと，「素数」が次から次へとたくさん出てくるのです。まるで 「魔法の多項式」 です。 これだけでも十分面白いのですが，なんとこれが 「類数」 という「一見まったく関係のなさそうな概念」と結びつくのです。私がこの事実を知ったのは，およそ２年ほど前です。それ以来，その秘密が知りたくてたまらなくなりました。 ２年経って，いろいろな勉強をして，ようやく理解のための土台が出来てきたという実感を得ました。今こそ解説にチャレンジしたいと思います。 とはいえ，なかなかに難しい話ですし，私が理解しているレベルのほぼ最前線です。そのため，わかりやすく嚙み砕く余裕はほとんどありません。整数論の知識はかなり求められますし，普段の記事と比べてもだいぶレベルが高いかもしれません。その点ご了承くださ
まず数列 $a$ の転倒数を求める問題を考えます より正確には $i < j$ を満たす組 $(i, j)$ であって $a_i > a_j$ となるようなものの数を求める問題で，これは fenwick tree などのデータ構造を使って以下のように解けます fenwick_tree<long long> ft(MAX); long long ans = 0; rep(i, n) { ans += ft.sum(a[i] + 1, MAX); ft.add(a[i], 1); } まず今見ている値を不等式の右辺の値として計算結果に加算して，次に今後その値が不等式の左辺としてどれくらい結果に寄与するかというのを考えているだけです ところで上記を踏まえると，一般に次のような問題が同様に解けます $i < j$ を満たす組 $(i, j)$ であってなんらかの制約 $f, g$ について $f(
みんなのお馴染みパスカルの三角形。 これは日本人好みの形状でもあります。なぜなら、積み重ねると富士山的になるから。 この三角形で二項係数を反転したパターンが個人的にお気に入りでした。 このところの暑さに熱のこもった頭でこの逆転三角形を眺めて、試算の衝動に久々に駆り立てられたのは三角形の芯の部分の総和はどうなるかという計算ネタです。 上の図では一番下の行でｎ＝５に相当するのが、 この逆数和はどうなるのだろうか？ ｎを有限な極限値はあるのだろうか？ 実はｎ→∞で「ゼロ」になってしまいます。 しかも。この数列には意外なところに極大値がある。 せっかくなのでn=100までの計算値を示します。 ここから、極大値と極限値の傾向を予測できる人は凄いです。 極大値は「2/3」、極限値はなんと「ゼロ」ですね。 下はn=10000までの計算結果です。横軸はｎです。 極限はゼロっぽい（誰か証明してえ！） 極大値
もう、すいぶん前、１年以上前に、黒川信重『ガロア表現と表現論』日本評論社の一部を紹介した(ガロアの定理の短めの証明が読める本 - hiroyukikojimaの日記)。このときは、「ガロアの基本定理」、すなわち、「代数拡大体の中間体と、その自己同型群の部分群が１対１対応する」という定理の、非常に短く、わかりやすい証明がこの本に載っているよ、ということを書いた。それで、この本に載っている他の定理のことも近いうちに書く、と予告してたんだけど、なんと！ それから、1年以上も歳月が流れてしまった。 前々回のエントリー(テレ東ドラマ『電子の標的2』に協力をしました - hiroyukikojimaの日記)で触れたように、今ぼくは、雑誌『高校への数学』東京出版に「素数の魅力」という連載を持っていて、そのため、素数について、いろいろと調べ直している。そこで、「ディリクレの算術級数定理」について、どう紹介
他の漸化式の基礎となるものであり、確実に見抜けるようにしておかなければならない。見抜きさえすれば、後は漸化式は関係なく、普通の数列の問題である。
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