シリーズ一覧へ このエントリでは，回転を題材としてリー群の定義を説明し，それを導入する動機と基本的な考え方を導入する． ざっくりと言うと，回転を考えるというのはある種の「曲がった空間」を考えることであって，理論上も実用上も面倒な点が多い．ところがここで，回転が「群」と呼ばれる数学的構造を持っていることに着目すると，さっきの「曲がった空間」に関する問題を，それに対応する「真っ直ぐな空間」に関する問題に置き換えて考えることができる．ここで言う「曲がった空間」がリー群であり，「真っ直ぐな空間」がリー代数と呼ばれるものであり，それらの間の対応を表すのが指数写像と呼ばれるものである，という話をこのエントリとそれに続く 2 エントリくらいを通じて見ていきたい． 何やら魔法のような話に聞こえるかもしれないが，こんな風に，ある問題をそれと対応関係にある別の問題に置き換えて考えるというのは数学ではよくある話
HeapのアルゴリズムをA (琥珀色)、B (青色)、C (シアン)、D (ダークレッド)の4文字に使ってできる24の置換と23のスワップの図 Heapのアルゴリズムはn個のオブジェクトの全ての置換を生成するアルゴリズムである。1963年にB. R. Heapによって提案された。[1]このアルゴリズムは移動を最小化する。つまり、各置換は前の置換から1ペアを交換するだけで生成され、他のn−2要素を操作する必要はない。1977年の置換生成アルゴリズムの論評で、Robert Sedgewickはこのアルゴリズムをコンピュータによる現時点で最も効率的な置換生成用アルゴリズムと結論づけた。[2] Heapのアルゴリズムによって生成されたn個のオブジェクトの置換列はn+1個のオブジェクトの置換列の最初になっている。したがってHeapのアルゴリズムは無限置換列を生成する(オンライン整数列大辞典の数列 A
4. soln1=NDSolve[{ x‘[t]=-3 (x[t]-y[t]), y‘[t]=-x[t]z[t]+26.5 x[t]-y[t], z‘[t]=x[t] y[t]-z[t], x[0]=z[0]=0.506127, y[0]=1 },{x,y,z},{t,0,20},MaxSteps->3000]; plot1=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[ t],z[t],Red}/.soln1],{t,0,20}]; soln2=NDSolve[{ x‘[t]=-3 (x[t]-y[t]), y‘[t]=-x[t]z[t]+26.5 x[t]-y[t], z‘[t]=x[t] y[t]-z[t], x[0]=z[0]=0.5, y[0]=1 },{x,y,z},{t,0,20},MaxSteps->3000]; plot2=ParametricPlo
皆さんご無沙汰しております。 約1か月ぶりのブログ更新となってしまいました*1。 今更ですが、令和初投稿です(←言いたいだけです)。 さて、今回は「差分系和の公式」ということで話していきたいと思います。 これは高校生以上の方なら一度は目にしたことがあるだろう「べき乗和の公式」に関する話で、個人的にも非常に大好きなものです！！ きっと皆さんも気に入ってくれると信じています。 前提知識は高校の「数列」と「多項式の(いわゆる数Ⅱの)微積」のみですので是非眺めて見てください！ また、初めに言っておくと今回の話はみんな大好き『数学ガール(無印)』の内容を参考にしています。 なので、興味を持たれた方はぜひそちらの方も見てみてください！とても面白いですよ！！ 数学ガール (数学ガールシリーズ 1) 作者: 結城浩出版社/メーカー: SBクリエイティブ発売日: 2007/06/27メディア: 単行本購入:
（報道発表資料） 2019年5月27日 日本電信電話株式会社 シャノン限界を達成しかつ実行可能な通信路符号を実現 ～効率の良い光通信や無線通信が可能に～ 日本電信電話株式会社（本社：東京都千代田区、代表取締役社長：澤田純、以下 NTT）は、シャノン限界を達成しかつ実行可能な通信路符号 （誤り訂正符号）「CoCONuTS※1」を実現しました。 本技術は、計算機科学者シャノンによって求められた、通信効率の限界（シャノン限界※2）を達成する誤り訂正符号を実現する技術です。一つの通信路が与えられた時、そのシャノン限界を達成するためには、一般には膨大な計算量が必要だと考えられていました。一方で、実用的な実装方法でシャノン限界を達成できる符号が知られていましたが、これらの符号がシャノン限界を達成するのは特殊な通信路に限られていました。 本技術により任意の通信路でシャノン限界を達成する通信路符号を構成で
はじめに 少し前(2019年4月頃)に、「AI人材」という言葉がニュースを賑わせていました。「現在流行っているディープラーニングその他を使いこなせる人材」くらいの意味だと思いますが、こういうバズワードの例の漏れず、人によって意味が異なるようです。併せて「AI人材のために線形代数の教育をどうするか」ということも話題になっています。 線形代数という学問は、本来は極めて広く、かつ強力な分野ですが、とりあえずは「行列とベクトルの性質を調べる学問」と思っておけば良いです。理工系の大学生は、まず基礎解析とともに線形代数を学ぶと思います。そして、何に使うのかわからないまま「固有値」や「行列式」などの概念が出てきて、例えば試験で3行3列の行列の固有値、固有ベクトルを求め、4行4列の行列の行列式を求めたりしてイヤになって、そのまま身につかずに卒業してしまい、後で必要になって後悔する人が出てきたりします(例え
Machine Learning Advent Calendar 2015 1日目の企画です． 機械学習・人工知能系の国際会議（ICML, NIPS, AAAIなど）のチュートリアルや論文を眺めたことのある人なら，Submodular Function（劣モジュラ関数）という単語に見覚えがあるかもしれません．実際，ICML 2013，AAAI 2015や今年のIBISでも劣モジュラ関数のチュートリアル講演がなされています．今回は，劣モジュラ関数についてプリキュアで解説したいと思います． 劣モジュラ関数とは 劣モジュラ関数は集合関数（ある集合の部分集合を引数に取り，実数値を返す関数）の一種です．具体的には以下の定義を満たす関数です． $f: 2^E \to \mathbb{R}$ が劣モジュラ関数 $\iff$ 全ての$X \subseteq Y$ と $i \not\in Y$ に対して
この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2015 の 8日目の記事です。（7日目：京大特色入試, コインの問題を解く | kinebuchitomo） ニコニコ動画の「数学」タグを検索するのが日課の日曜数学者 tsujimotter です。 「数学」で検索すると、本当にいろいろな動画が見つかるのです。ぜひお時間あるときに試してみてください。 日曜数学 Advent Calendar ８日目の本日は、そんなニコニコ動画で見つけた動画から１つ、みなさんにご紹介したいと思います。 今回ご紹介したいのは、初音ミクが歌うボカロ曲です。タイトルは 「 を で割ったあまりは？」 です。そのタイトル通り、まさに数学の問題をテーマとした珍しい曲です。まずは、ぜひリンク先の動画をご覧ください。 tsujimotter は、心地よいメロディーが素敵な曲だと思いました。この記事を書いている最中、バッ
三つのシリーズがあります。数学ガールには三つのシリーズがあります。 「数学ガール」シリーズ 「高校の数学くらいはまあまあわかるかな」という方は「数学ガール」シリーズをどうぞ。「数学大好き！」なら中学生でもいいですよ。 「数学ガールの秘密ノート」シリーズ 「いや、もう、数学は苦手なんですけど」という方は「数学ガールの秘密ノート」シリーズをどうぞ。 「数学ガールの物理ノート」シリーズ 「物理学に興味がある」という方は「数学ガールの物理ノート」シリーズをどうぞ。 ★「数学ガール」シリーズは、物語を追いたいなら順番に。でも数学的内容は各巻で完結しています。・第1巻は、数列・母関数・離散と連続の話題が出てきます。
TL;DR 「機械学習をやるなら線形代数はやっとけ」的な話が出るけど具体的な話があまり見当たらない 研究でなく実務レベルで機械学習を扱う場合にどのような線形代数の知識が必要になるのか考えてみた 高校でやるベクトル・行列＋αくらいあれば概念的には十分で、計算が苦じゃない基礎体力が重要では？ 機械学習が流行ることで、機械学習に必要な数学的基礎にも話が及ぶことが多くなってきている。 特に、線形代数や微積に関しては基礎を押さえとけみたいなことを言う人が結構いる気がする。 中身のない話をしたい場合はまあそれだけでもいいのだけれど、具体的に何が必要になるのかを説明してくれてる人はあまりいない。少なくとも自分の観測範囲では。 レベル感が様々なので万人に通用する議論はできないのはしょうがないが、「自分としてはこれは必要だと思っている」みたいな意見は聞いてみたい。 自分の考えはどうだろう、ということで線形代
である。 $x^y$ は、$(0,0)$ で不連続になっているので、極限を根拠に $0^0$ を定めるとすると、不定とか定義されないとか、そういうことになる。 これは未定義のほうが好ましいかもしれない理由のひとつにはなるけれど、決して決定的ではない。 連続性を根拠にするのは、一見未定義であっても連続性を保つように定義できれば幸せになるからだと思う。 とはいえ。 $x^y$ の $(0,0)$ における連続性と、$0^0$ の値は、別の話だ。 どうやっても連続性が保てないからといって、よい定義が存在しないという事にはならない。 というわけで、$0^0$ が時折現れる世界をより住みやすくするためにはどうすればいいのかを考える。 ゼロ除算のように未定義にするのがよいのか、${0!}$ のように、よい値を定義するのがよいのか。 #指数法則 $0^0$ をどうするかにあたって、指数法則は大事だ。 連
Tips You can retrieve TeX-code from images pasted in PowerPoint (see this). At every image generation, LaTeX source is stored in browser history. Use browser Back / Forward button or history window to retrieve them. Click color palette while selecting text to color the text Multiple cursor/selection is available by Ctrl + click/drag Acknowledgments TeXclip depends on many open source projects. Whi
素数は難しい 1と自分自身のみを約数に持つ自然数が素数です。2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、…。約数さえ理解できれば素数自体は容易です。 87は素数でしょうか。87＝3×29なので87は素数ではありません。1より大きい自然数で素数でない数を合成数と呼びます。では、1729はどうでしょう。少し時間をかければ、1729＝7×13×19と分かり1729は合成数です。 与えられた数が大きくなると素数か合成数の判定は途端に容易ではなくなります。ここに数学が必要になります。 その意味で素数は難しいと言えます。連載「サラリーマンのための超入門・リーマン予想」でも紹介したリーマンによるリーマン予想（1859年）の発見は、素数探究の末にたどり着いた深い闇です。 ところで1より大きい自然数は素数か合成数のどちらかでしたから、素数判定とともに合成数判定も考えられます。合成数
id:taamori1229 さんの、この記事を読んで突如わが数学スイッチが入りました。 taamori1229.hatenablog.com ＜三円定理＞ 円はそれよりも直径の小さい二つの円で完全に覆い隠すことはできない。 「証明は別途」とありますので、楽しみにお待ちしています。 その直前には「２つではなく、３つでやってみると簡単に覆い隠せることが分かる。」とある。直感的に、確かにそうだろうなと思った。では、どれだけの大きさまでなら覆い隠せるのだろうか？ スポンサーリンク 具体的には、現在日本で流通している硬貨のサイズは下表の通りである。1円玉三枚で5円玉、10円玉…500円玉を覆い隠すことができるだろうか？ 1円 5円 10円 50円 100円 500円 直径 20 22 23.5 21 22.6 26.5 比率 1 1.1 1.175 1.05 1.13 1.325 直径の単位はmm
こんにちは、シニアアプリケーションエンジニアのid:taraoです。この記事ははてなデベロッパーアドベントカレンダー2015の10日目です。昨日はid:tapir320によるはてなの組織開発についてでした。 先月開催されたWebDB Forum 2015で、「はてなブックマークにおけるアクセス制御: 半環構造に基づくモデル化」というタイトルの発表をしました。 はてなブックマークにおけるアクセス制御 - 半環構造に基づくモデル化 from Lintaro Ina 発表資料には多くの方に興味をもっていただけたようですが、わかりにくい点も多かったのではないでしょうか。スポンサー企業としての技術報告セッションとはいえ学術会議での発表なので理論面と独自の工夫点にフォーカスした内容であったり、口頭での発表のしかたに大きく依存したスライドの遷移方法になっているので、この資料だけで細かいところまで理解しよ
0の0乗の正解がネット検索しても見つからないので作成した。 更新：2019/11/29｜公開：2015/11/21 教育・学習 0の0乗はいくらですか？ 正しい解答を答えられますか？ 事の発端は、昨年2月の読売新聞に「0に0をかけると0だが、0を0乗すると1になる」と書き始め、学力低下について批評した記事が出回ったところから始まります。これについて、「バカなことを言うな」「間違っていますよ」「最近はそう教えているの？」･･･などとネット上で論争が爆発しました。 この0の0乗事件から、もうすぐ2年になろうとしているので、さすがに誰かが正してくれていると思いネット検索してみたのですが、いろんな言い分は多々見受けられましたが、正しい解答に言及しているサイト（ページ）は見つからなかったので、僭越ながらここで正しい解答を記述しておきたいと思います。この機会に「0の0乗」について正しく理解いただければ
「数学の美しさ」というものは、数学を深く理解することで初めて得られる感覚と言われます。美しさが伝わると数学嫌いも少しはマシになるのかもしれませんが、数学嫌いの人にはそもそも美しさを伝えることができないということで、歯がゆい思いをしている数学愛好家は多いもの。そんなときに便利な、「数学の概念」を視覚的に理解できるグラフィック集は以下の通りです。 soft question - Visually stunning math concepts which are easy to explain - Mathematics Stack Exchange http://math.stackexchange.com/questions/733754/visually-stunning-math-concepts-which-are-easy-to-explain ◆01：奇数の和 奇数の和が平方数にな
一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。 これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。 ↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。 ↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。 後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。 これでも、なんだかよくわからない。 まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。 まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。 続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。 壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて
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