Aresta (geometria)
En geometria, una aresta és un segment lineal de dimensió 1 que uneix dos vèrtexs de dimensió zero en un polígon, un políedre, o més en general un polítop.[1] En dimensió 1 la mateixa aresta és el mateix polítop. Una successió plana i tancada d'arestes forma un polígon que és un polítop de dimensió 2. En aquest cas de cada aresta se'n diu costat del polígon. Les cares dels polítops de dimensió tres o superior són formades per successions planes i tancades d'arestes.
Relació amb les arestes dels grafs
[modifica] Tres arestes AB, BC i CA, cadascuna entre dos vèrtexs d'un triangle. |
.svg) Un polígon està envoltat per arestes; aquest quadrat té 4 arestes. |
 Tota aresta forma part de dues cares en un políedre, com en aquest cub. |
 Tota aresta forma part de tres o més cares en un 4-politop, com es veu en aquesta projecció d'un polícor.[2] |
En teoria de grafs, una aresta és un objecte abstracta que connecta dos vèrtexs, al contrari que les arestes dels polígons i políedres, que tenen una representació geomètrica concreta com un segment de recta. Tot i això, qualsevol políedre es pot representar pel seu esquelet o esquelet d'arestes, un graf que té com a vèrtexs els vèrtexs geomètrics del políedre, i que té com a arestes les arestes geomètriques.[3] Recíprocament, els grafs que són esquelets de políedres tridimensionals es poden caracteritzar pel teorema de Steinitz, essent exactament els grafs planars 3-vèrtex-connexos.[4]
Nombre d'arestes d'un políedre
[modifica]La superfície de qualsevol políedre convex té característica d'Euler
La lletra "V" és el nombre de [Vèrtex (geometria)|vèrtexs], "E" és el nombre d'arestes, i "F" és el nombre de cares. Aquesta equació es coneix amb el nom de relació d'Euler. Així, el nombre d'arestes és 2 unitats menor que la suma del nombre de vèrtexs i de cares. Per exemple, un cub té 8 vèrtexs i 6 cares, i per tant 12 arestes.
Incidències amb altres cares
[modifica]En un polígon, dues arestes es troben en cada vèrtex; més en general, pel teorema de Balinski, almenys d arestes es troben a cada vèrtex d'un polítop convex de dimensió d.[5] De manera semblant, en un políedre, exactament dues cares bidimensionals es troben a cada aresta,[6] mentre que, en polítops de dimensió superior, tres o més cares bidimensionals es troben a cada aresta.
Referències
[modifica]- ↑ Ziegler, Günter M. Lectures on Polytopes. 152. Springer, 1995.
- ↑ Seidel, Raimund. Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), 1986, p. 404–413. DOI 10.1145/12130.12172. «Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face»
- ↑ Senechal, Marjorie. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. Springer, 2013, p. 81. ISBN 9780387927145.
- ↑ Pisanski, Tomaž; Randić, Milan. Geometry at work. 53. Washington, DC: Math. Assoc. America, 2000, p. 174–194. «Bridges between geometry and graph theory». Vegeu en particular el Teorema 3, p. 176.
- ↑ Balinski, M. L. «On the graph structure of convex polyhedra in n-space». Pacific Journal of Mathematics, 11, 2, 1961, p. 431–434. DOI: 10.2140/pjm.1961.11.431.
- ↑ Wenninger, Magnus J. Polyhedron Models. Cambridge University Press, 1974, p. 1. ISBN 9780521098595.
Enllaços externs
[modifica]- Edge at Glossary for Hyperspace
- Polygonal edge at MathWorld Eric W. Weisstein.
- Polyhedral edge at MathWorld Eric W. Weisstein
