Uttaedru

In giumitria solida, l' uttaedru hè un puliedru incù ottu facci triangulari. L'uttaedru rigulari hè un di i cinqui solidi platonichi, chì i so facci sò trianguli equilateri. Hà sei vertici è dodici spiculi.

Aria è vulumu

L'aria $A$ di superficia è u vulumu $V$ di l'uttaedru rigulari di u quali spiculu hà una lunghezza $a$ sò dati da:

A=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3.46410162a^{2}

V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471404521a^{3}

U vulumu hè 4 volti quiddu d'un tetraedru rigulari incù spiculi di lunghezza $a$ , mentri l'aria di superficia hè u doppiu (apposta ch'edda hè furmata da 8 trianguli equilateri, quandu u tetraedru inveci n'hà 4)

L'angulu diedrali di l'uttaedru rigulari hè arc cos(-1/3), apprussimativamenti uguali à 109.47122°.

Cuurdinati cartisiani

Un sviluppu di l'uttaedru.

Un uttaedru rigulari in u spaziu euclidea $\mathbb {R} ^{3}$ pò essa traslatu di manera à avè u centru in l'urighjina, è dopu à oppurtuni rutazioni è similitudina hà i 6 vertici in

(\pm 1,0,0),

(0,\pm 1,0),

(0,0,\pm 1).

A custruzzioni di Euclide

Fig. 1: ditarminazioni di u spiculu AC di l'uttaedru iscrittu in a sfera di diamitru AB

Fig. 2: custruzzioni di l'uttaedru

In u libru XIII di i so Elementi, Euclide discrivi u metudu par iscriva un uttaedru rigulari in una sfera di diamitru datu. A custruzzioni discritta da Euclide hè a siguenti:

Sii AB (vedi Fig. 1) u diamitru di a sfera data; si trovi u so puntu mediu D è si tracci un mezuchjerchju di centru D è raghju DA. Si alza a parpindiculari da D, ditarminendu u puntu C nantu à a circumfarenza è infini si cunghjunghjini i punti AC è CB.

Si riplicheghji listessa custruzzioni annantu à i trè piani passendu par AB incù un angulu diedru di 90°, 180° è 270° rispettu à u pianu iniziali (Fig. 2). Si tracciani infini i cunghjunghjenti frà i punti CE, EF, FG è GC.

Hè chjaru ch'è i vertici A, C, E, F è G si trovani annantu à i mezicircumfarenzi custruiti nantu à u diamitru AB, è dunqua si trovani tutti nantu à a superficia di a sfera di listessu diamitru. Par custruzzioni i spiculi chì partini da i vertici A è B sò uguali trà eddi; ma ancu i spiculi CE, EF, FG è GC ani listessa lunghezza: infatti tutti i spiculi di l'uttaedru sò dinò l'iputenusa d'un triangulu rittangulu di u quali i cateti sò raghji di a sfera.

Par ciò chì riguarda u rapportu frà diamitru di a sfera spiculu di l'uttaedru iscrittu, par via di u tiurema di Pitagora u quatratu custruitu nantu à u spiculu hè doppiu di u quatratu custruitu nantu à u raghju di a sfera; par via di cunsiquenza u quatratu custruitu nantu à u diamitru hè doppiu di u quatratu custruitu nantu à u spiculu.

Puliedru duali

U puliedru duali di l'uttaedru rigulari hè u cubu.

Simmitrii

L'uttaedru hà 24 simmitrii rutaziunali, veni à dì chì priservani l'uriintazioni di u spaziu, più altri 24 simmitrii chìùn a priservani micca. U gruppu di simmitria di l'uttaedru conta dunqua un tutali di 48 elementi.

U sottugruppu datu da i 24 rutazioni hè isumorfu à u gruppu $S_{4}$ di i parmutazioni di 4 elementi. Ci hè infatti asattamenti una rutazioni chì rializeghja ogni pussibuli parmutazioni di i 4 coppii di facci opposti.

U gruppu tutali di simmitria hè isumorfu à u pruduttu $S_{4}\times \mathbb {Z} /_{2\mathbb {Z} }$ di $S_{4}$ incù un gruppu ciclicu incù 2 elementi.

Impavimenti

Un impavimentu di u spaziu incù uttaedri è tetraedri.

Ditagliu di l'impavimentu.

L'uttaedru rigulari ùn inghjinireghja micca da solu un impavimentu di u spaziu, parchì i so anguli diedrali ùn sò micca divisori di 360°. Ni inghjinireghja una parò in cumbinazioni incù u tetraedru, com'è mustratu annantu à a figura.

Da veda dinò

Noti

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.