Frobeniova věta

Frobeniova věta z lineární algebry udává nutnou a postačující podmínku pro existenci řešení soustavy lineárních rovnic, konkrétně v závislosti na hodnostech matice soustavy a její rozšířené matice. Je pojmenována podle německého matematika Ferdinanda Georga Frobenia.

Formální znění

Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic má řešení, právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy: $\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}|{\boldsymbol {b}})=\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}$ .

V tomto případě je soustava vnitřně bezrozporná. Pokud je hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ rovna počtu neznámých, má soustava jedno řešení. Pokud je $\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}$ menší než počet neznámých, je řešení více.

Hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ nemůže být z definice větší než počet neznámých, ale je-li hodnost rozšířené matice soustavy $({\boldsymbol {A}}|{\boldsymbol {b}})$ větší než počet neznámých, nemůže být splněna podmínka Frobeniovy věty a soustava proto nemá žádné řešení.

V případě, že soustava má řešení, pak množina řešení tvoří afinní podprostor dimenze ${\textstyle n-\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}}$ , kde $n$ značí počet neznámých.

Ukázka

Soustava rovnic v oboru reálných čísel

{\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&+&2z&=&3\\x&+&y&+&z&=&1\\2x&+&2y&+&2z&=&2\end{array}}

má matici soustavy

{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{pmatrix}}

a rozšířenou matici

({\boldsymbol {A}}|{\boldsymbol {b}})=\left({\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right)

Protože obě mají stejnou hodnost, konkrétně $\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}|{\boldsymbol {b}})=2$ , existuje alespoň jedno řešení. Navíc je jejich hodnost menší než počet neznámých, tj. 3, a proto existuje nekonečně mnoho řešení.

Naopak soustava

${\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&+&2z&=&3\\x&+&y&+&z&=&1\\2x&+&2y&+&2z&=&5\end{array}}$

má matici soustavy

{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{pmatrix}}

a rozšířenou matici

({\boldsymbol {A}}|{\boldsymbol {b}})=\left({\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right)

V tomto případě má matice soustavy hodnost 2, avšak rozšířená matice má hodnost 3; takže tato soustava rovnic nemá řešení. Nárůst počtu lineárně nezávislých sloupců způsobil, že soustava rovnic je nekonzistentní.

Pojmenování

Věta se ve světě uvádí i pod jmény dalších matematiků, kteří na této otázce pracovali – patří sem Leopold Kronecker, Alfredo Capelli, Georges Fontené a Eugène Rouché. Konkrétně se nazývá Rouchého–Capelliho věta v anglicky a portugalsky mluvících zemích a Itálii; Kroneckerova-Capelliho věta v německy mluvících zemích, Polsku, Rumunsku, Srbsku a Rusku; Rouchého–Fonténého věta ve frankofonním světě a Rouchého–Frobeniova věta ve španělsky mluvících zemích.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rouché–Capelli theorem na anglické Wikipedii.

Literatura

BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.