Trichotomická relace

Trichotomická relace je pojem z teorie množin, používaný především v teorii uspořádání.

Definice

Relace $R\,\!$ na množině $X\,\!$ je trichotomická, pokud platí:
$(\forall a,b\in X)([a,b]\in R\vee [b,a]\in R\vee a=b)\,\!$

Řečeno lidsky: trichotomická relace je ten typ relace, kdy každé dva různé prvky jsou ve vztahu daném touto relací (v případě uspořádání bychom řekli, že jsou srovnatelné).

Příklady

Relace „je menší“ $<\,\!$ i „je menší nebo rovno“ $\leq \,\!$ jsou trichotomické na množině přirozených čísel, racionálních čísel i reálných čísel.

Relace „je podmnožinou“ $\subseteq \,\!$ není trichotomická na potenční množině žádné množiny, která obsahuje alespoň dva prvky.
Pokud jsou $a,b\in X,a\neq b\,\!$ potom $\{a\},\{b\}\in \mathbb {P} (X)\,\!$ ,
ale neplatí ani $\{a\}\subseteq \{b\}\,\!$ , ani $\{b\}\subseteq \{a\}\,\!$ , ani $\{a\}=\{b\}\,\!$ .

Motivace

Trichotomická relace svojí definicí trochu připomíná definici úplné relace, ale je o něco obecnější - zatímco pouze neostré uspořádání může být úplné, trichotomické může být i ostré uspořádání i neostré uspořádání.
Toho se využívá v obecné definici lineárního uspořádání, která je stejná pro ostré i neostré uspořádání.

Související články