„Hexagonales Kristallsystem“ – Versionsunterschied
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Das '''hexagonale Kristallsystem''' gehört zu den sieben [[Kristallsystem]]en der [[Kristallographie]]. Es umfasst alle Punktgruppen mit einer [[Radiärsymmetrie
==
Das hexagonale Kristallsystem umfasst die [[Punktgruppe]]n <math> 6, \, \bar 6, \, 6/m, \, 622, \,6mm, \, \bar 6m2 </math> und <math>\ 6/mmm </math>. Dies sind alle die Punktgruppen der hexagonalen Kristallfamilie, in denen es keine [[Raumgruppe]] mit rhomboedrischer Zentrierung gibt. Die Raumgruppen des hexagonalen Kristallsystems können alle mit dem hexagonal primitiven Achsensystem beschrieben werden.
Die hexagonalen Punktgruppen haben keine kubische [[Untergruppe|Obergruppe]]. Somit ist die hexagonale [[Holoedrie]] zusammen mit der kubischen die höchstsymmetrische kristallographische Punktgruppe.
[[Datei:Trig p cell.png|mini|links|Bild 1: die hexagonale [[Elementarzelle]] ]]
[[Datei:Hexagonal lattice.svg|mini|150px|Bild 2: Falschdarstellung einer hexagonalen Zelle]]
[[Datei:Hexagonal latticeFRONT.svg|mini|150px|Bild 3: korrekte hexagonale Zelle]]
In der hexagonalen Kristallfamilie gibt es das hexagonale und das trigonale Kristallsystem sowie das hexagonale und das rhomboedrische [[Gitter-System]]. Die Einteilung in Kristallsysteme beruht auf der Symmetrie der Kristalle, die Einteilung in Gittersysteme bezieht sich auf die Metrik des Gitters. Während in den fünf anderen Kristallfamilien bzw. Kristallsystemen diese unterschiedlichen Sichtweisen zur selben Einteilung führen, ist dies in der hexagonalen Kristallfamilie nicht so. Darüber hinaus erfolgt hier die Einteilung in Gittersysteme nicht auf Basis der Punktgruppen, sondern der Raumgruppen. Da die Verhältnisse relativ kompliziert sind, werden sie an dieser Stelle ausführlicher beschrieben.
=== Hexagonales Achsensystem in der Kristallographie ===
Wie in allen [[Wirteliges Kristallsystem|wirteligen Kristallsystemen]] wird die Drehachse mit der höchsten Zähligkeit in die Richtung der c-Gitterachse gelegt. Die Ebene senkrecht dazu wird durch zwei gleich lange Achsen a<sub>1</sub> und a<sub>2</sub> beschrieben, die im Winkel von 120° zueinander stehen. Daraus ergibt sich folgende Metrik: <math> a = b \neq c </math> und <math>\alpha = \beta = 90 ^\circ, \, \gamma = 120 ^\circ .</math> Die durch diese Basisvektoren gebildete [[Elementarzelle]] ist in Bild 1 dargestellt. Sie hat ein Volumen von <math>V = a^2c \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}a^2c.</math>
=== Hexagonales Achsensystem in anderen Fachrichtungen ===
In der Mineralogie und besonders in der Metallkunde ist es üblich, noch eine zusätzliche Achse a<sub>3</sub> in der (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>) Ebene zu verwenden (vgl. Bild 3). Diese hat dieselbe Länge wie a<sub>1</sub> und steht im Winkel zu 120° sowohl zu a<sub>1</sub> als auch zu a<sub>2</sub>. Die [[Millersche Indizes|Millerschen Indizes]] werden um den Index i zu so genannten ''Miller-Bravais-Indizes'' erweitert und haben dann vier Komponenten: (h, k, i, l). Dabei ist der Index i redundant, da gilt: i = -(h+k). Ähnlich werden in der Metallkunde auch Richtungen durch viergliedrige Symbole [uvtw], die ''Weber-Indizes'', dargestellt.
Oft wird in der Literatur die hexagonale Zelle als sechseckiges Prisma dargestellt (siehe Bild 2). Da dieses Prisma kein [[Parallelepiped]] ist, handelt es sich aber nicht um eine Elementarzelle. Dieses Prisma besteht aus drei hexagonalen Elementarzellen (vergleiche Bild 3).
=== Die a<sub>1</sub>-a<sub>2</sub>-Ebene ===
[[
Bild 3 stellt die a<sub>1</sub>-a<sub>2</sub>-Ebene des hexagonalen Achsensystems dar. Im Einzelnen:
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* Schwarze Linien: die Grundfläche des sechseckigen Prismas, das oft zur Veranschaulichung des hexagonalen Gittersystems verwendet wird.
* Rote Pfeile: die Gittervektoren des hexagonalen Gitters, dünn: die in der Mineralogie übliche 3. a-Achse.
* Blaue Pfeile: Blickrichtung des 3. Raumgruppensymbols nach [[Hermann-Mauguin-Symbol#Symbole der Punktgruppen|Hermann-Mauguin]] entsprechend den [[International Tables for Crystallography]] 3. Auflage.
* Grün: Grundfläche der orthohexagonalen Zelle
* Grüne Pfeile: Gittervektoren der orthohexagonalen Zelle. (Der 3. Gittervektor ist der hexagonale c-Vektor)
===
Bei der Betrachtung möglicher Zentrierungen kommt es in diesem Achsensystem zu einer Besonderheit. Fügt man zusätzliche Gitterpunkte so ein, dass die volle Symmetrie des hexagonalen Gitters erhalten bleibt, so ergeben sich nur Punktgitter, die auch durch ein primitives hexagonales Gitter (mit anderen Gitterkonstanten) beschrieben werden können.
Fügt man aber zusätzliche Gitterpunkte an den Stellen <math>(\tfrac{2}{3}, \, \tfrac{1}{3}, \, \tfrac{1}{3})</math> und <math>(\tfrac{1}{3}, \, \tfrac{2}{3}, \, \tfrac{2}{3})</math> beziehungsweise <math>(\tfrac{1}{3}, \, \tfrac{2}{3}, \, \tfrac{1}{3})</math> und <math>(\tfrac{2}{3}, \, \tfrac{1}{3}, \, \tfrac{2}{3})</math> ein, so ergibt sich ein neues Gitter, das aber nicht mehr die volle Symmetrie des hexagonalen Punktgitters, sondern die niedrigere Symmetrie <math> \bar 3 m </math> hat.
Dieses Gittersystem kann auch mit einer [[Elementarzelle#
Diese Elementarzelle hat die Form eines [[Rhomboeder]]s, eines entlang seiner Raumdiagonalen verzerrten Würfels. Diese Elementarzelle ist zwar primitiv, aber nicht [[Elementarzelle#
Die Lage der rhomboedrischen zu den hexagonalen Achsen hängt davon ab, welche der beiden Möglichkeiten zur Zentrierung der hexagonalen Zelle verwendet wurde. Im ersten Fall heißt die Aufstellung der Achsen obvers, im zweiten Fall revers. In der ersten Ausgabe der International Tables von 1935 wurde die reverse Aufstellung verwendet, in den darauffolgenden die obverse. Der Unterschied zwischen beiden Aufstellungen besteht in einer Drehung der hexagonalen zu den rhomboedrischen Achsen um 60°, 180° oder 300°.
Da dieses Gittersystem nicht die volle Symmetrie des hexagonalen hat, kommt es nicht in allen Punktgruppen der hexagonalen Kristallfamilie vor.
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=== Verwendung im trigonalen und hexagonalen Kristallsystem ===
Das hexagonale Achsensystem wird zur Beschreibung aller Punktgruppen der hexagonalen Kristallfamilie eingesetzt. Punktgruppen deren Raumgruppen ausschließlich mit dem primitiv hexagonalen Gitter beschrieben werden können, bilden das hexagonale Kristallsystem. Alle Punktgruppen, in denen auch das rhomboedrisch zentrierte Gitter vorkommt, bilden das trigonale Kristallsystem. Auch in diesem System werden alle nicht zentrischen Raumgruppen mit dem hexagonalen Achsensystem beschrieben. Eine Beschreibung dieser Raumgruppen mit dem rhomboedrischen Gittersystem ist nicht möglich, auch wenn sie zur [[Holoedrie]] des rhomboedrischen Gittersystems gezählt werden. Nur bei den zentrischen Raumgruppen (Symbol R) hat man die Auswahl zwischen dem hexagonalen und dem rhomboedrischen Achsensystem.
=== Rhomboedrische oder hexagonale Achsen ===
Im Gegensatz zur rhomboedrischen Zelle ist die hexagonale Zelle eine konventionelle Zelle, daher wird in der Regel das hexagonale Achsensystem verwendet. Bei den Strukturdaten der Minerale spielt das rhomboedrische System nur eine untergeordnete Rolle.
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Das Rhomboeder ist ein in Richtung der Raumdiagonalen verzerrter Würfel. Daher ist der Einsatz dieser Aufstellung in den Fällen angebracht, in denen eine kubische und eine rhomboedrische Struktur miteinander verglichen werden, da man hierbei das Achsensystem nicht ändern muss.
===
Da das hexagonale Achsensystem kein orthogonales System ist, ist seine Metrik komplizierter. Einer der Ansätze damit umzugehen ist die Beschreibung durch ein orthorhombisches Gittersystem, das sogenannte orthohexagonale System. Es handelt sich dabei um eine orthorhombisch C-zentrierte Zelle. Die Grundfläche dieses Systems ist ein Rechteck mit dem Seitenlängenverhältnis b:a von <math> \sqrt{3} \approx 1{,}732 </math>. Sie ist in Bild 3 grün eingezeichnet. Die dritte Achse entspricht der hexagonalen c-Achse.
Der Vorteil dieser Aufstellung ist die einfachere Metrik, der Nachteil ist der Verlust einer expliziten drei- bzw. sechszähligen Achse.
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Bei der Beschreibung von [[Untergruppe
Es ist auch möglich das hexagonale Gitter mit sechs zentrierten rhomboedrischen Zellen zu beschreiben. Diese Zellen werden D-Zellen genannt. Zur Beschreibung von Strukturen werden sie nicht verwendet.
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Die Einteilung der Kristalle in Kristallsysteme beruhte ursprünglich auf der Morphologie. Im trigonalen bzw. hexagonalen System wurden alle die Kristalle zusammengefasst, deren Kristallform auf das Vorhandensein einer drei- bzw. sechszähligen Drehachse schließen lässt. Da aber die sechszählige Drehinversionsachse eine dreizählige Kristallform bewirkt, wurden die Punktgruppen <math> \bar 6 </math> (trigonal-dipyramidal) und <math> \bar 6 m2 </math> (ditrigonal-dipyramidal) anfangs zum trigonalen Kristallsystem gezählt, wie man an den Bezeichnungen für die Kristallformen heute noch sieht.
==
Zur Beschreibung der hexagonalen Kristallklassen in [[Hermann-Mauguin-Symbolik]] werden die Symmetrieoperationen bezüglich vorgegebener Richtungen im Gitter-System angegeben.
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Charakteristisch für alle Raumgruppen des hexagonalen Kristallsystems ist die 6 (oder {{overline|6}}) an 1. Stelle des Raumgruppensymbols.
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! colspan=8 | Punktgruppe (Kristallklasse)
! colspan=4 | Physikalische Eigenschaften<ref group="Anm." name="Hinweise" />
! rowspan=3 | Beispiele
|- class="hintergrundfarbe5"
! rowspan=2 | Nr.
! rowspan=2 | [[Kristallsystem|Kristall­system]]
! rowspan=2 | Name
! rowspan=2 | [[Schoenflies-Symbolik
! colspan=2 | Internationales Symbol<br />([[Hermann-Mauguin-Symbolik
! rowspan=2 | [[Lauegruppe|Laue­klasse]]
! rowspan=2 | Zugehörige<br />[[Raumgruppe|Raum­gruppen]] (Nr.)
! rowspan=2 | [[Chiralität (Chemie)|Enantio­morphie]]
! rowspan=2 | [[Optische Aktivität]]
! rowspan=2 | [[Pyroelektrizität|Pyro
! rowspan=2 | [[Piezoelektrizität|Piezo
|- class="hintergrundfarbe5"
! Voll
! Kurz
|-
| 21
| rowspan="7" | hexagonal
| align="left" | hexagonal-pyramidal
| ''C''<
| 6
| 6
| rowspan="3" | 6/''m''
| 168–173
| +
| +
| + [001]
| +
| [[Nephelin]]<br />[[Zinkenit]]
|-
| 22
| align="left" | trigonal-dipyramidal
| ''C''<
| {{overline|6}}
| {{overline|6}}
| 174
|
|
|
| +
| [[
|-
| 23
| align="left" | hexagonal-dipyramidal
| ''C''<
|
| 6/''m''
| 175–176
|
|
|
|
| [[Apatit]]<br />[[Zemannit]]
|-
| 24
| align="left" | hexagonal-trapezoedrisch
| ''D''<sub>6</sub>
| 622
|
| rowspan="4" | 6/''mmm''
| 177–182
| +
| +
|
| +
|
|-
| 25
| align="left" | dihexagonal-pyramidal
| ''C''<
| 6''mm''
| 6''mm''
| 183–186
|
|
| + [001]
| +
| [[Wurtzit]]<br />[[Zinkit]]
|-
| 26
| align="left" | ditrigonal-dipyramidal
| ''D''<sub>3''h''</sub>
| {{overline|6}}''m''2 bzw. {{overline|6}}2''m''
| {{overline|6}}''m''2
| 187–190
|
|
|
| +
| [[Bastnäsit]]
|-
| 27
| align="left" | dihexagonal-dipyramidal
| ''D''<sub>6''h''</sub>
|
| 6/''mmm''
| 191–194
|
|
|
|
| [[Graphit]]<br />[[Magnesium]]
|- class="hintergrundfarbe1"
| colspan="13" align="left" |
<references group="Anm.">
<ref group="Anm." name="Hinweise">Bei den Angaben zu den physikalischen Eigenschaften bedeutet „'''−'''“ aufgrund der Symmetrie verboten und „'''+'''“ erlaubt. Über die Größenordnung der optischen Aktivität, Pyro- und Piezoelektrizität sowie des SHG-Effekts kann rein aufgrund der Symmetrie keine Aussage getroffen werden. Man kann aber davon ausgehen, dass stets eine zumindest schwache Ausprägung der Eigenschaft vorhanden ist. Für die Pyroelektrizität ist, sofern vorhanden, auch die Richtung des pyroelektrischen Vektors angegeben.</ref>
</references>
|}
Weitere hexagonal kristallisierende chemische Stoffe siehe [[:Kategorie:Hexagonales Kristallsystem]]
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{{Hauptartikel|Kristallmorphologie}}
<gallery caption="Bildbeispiele hexagonaler Kristallformen">
</gallery>
==
<!--Abschnitt erst mal dringelassen. Soll zu eigenständigem Thema dichteste Kugelpackung ausgebaut werden.-->
[[
Die hexagonal dichteste Kugelpackung (hdp, engl. {{lang|en|hcp}}) ist eine der zwei Möglichkeiten [[dichteste Kugelpackung|dichtester Kugelpackungen]]. Sie kann wie folgt beschrieben werden: Ihre Grundzelle ist ein sechsseitiges [[Prisma (Geometrie)|Prisma]], dessen 12 Ecken mit je einer gleich großen Kugel besetzt sind. Der Kugeldurchmesser ist gleich der Kantenlänge der sechseckigen Grundfläche (die 6 je Kugeln berühren sich). In der Mitte der je 6 Kugeln befindet sich je eine 7. Kugel gleichen Durchmessers. Die Höhe des Prismas ist so, dass 3 weitere Kugeln gleichen Durchmessers zwischen die 7 oberen und 7 unteren Kugeln passen. Diese 3 Kugeln berühren sich untereinander und stoßen in je eine Lücke innerhalb der 7 oberen und der 7 unteren Kugeln an diese an. Ein Mittelpunkt einer der drei mittleren Kugeln bildet mit den Mittelpunkten der drei Kugeln darüber und darunter jeweils ein [[Tetraeder]]. Deshalb ist die Höhe der Zelle gleich der doppelten Tetraederhöhe. Das Seitenverhältnis dieser hexagonalen Zelle (siehe Bild 2) ist also: <math>\textstyle \frac{c}{a} = \sqrt{ \frac{8}{3} } </math>.
Die Stapelabfolge ihrer drei hexagonalen Kugelschichten wird ABA geschrieben.
Eine [[Elementarzelle]] mit hexagonal dichtester Packung (hdp) besteht aus zwei rautenförmigen Grundflächen. Die Atome befinden sich innerhalb der Elementarzelle auf den kristallographischen Lagen 1/3, 2/3, 1/4 und 2/3, 1/3, 3/4 (ein Symmetriezentrum der Struktur liegt dann konventionsgemäß in 0, 0, 0).<ref>{{Literatur |Autor=Lothar Spieß, Robert Schwarzer, Gerd Teichert, Herfried Behnken |Titel=Moderne Röntgenbeugung: Röntgendiffraktometrie für Materialwissenschaftler, Physiker und Chemiker |Verlag=Vieweg + Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2009 |ISBN=978-3-8351-0166-1 |Seiten=57}}</ref>
Viele Metalle kristallisieren in einer hexagonal dichtesten Kugelpackung: Be, Mg, Sc, Ti, Co, Zn, Y, Zr, Tc, Ru, Cd, Lu, Hf, Re, Os, Tl und einige [[Lanthanoide]].
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== Literatur ==
* Martin Okrusch, Siegfried Matthes: ''Mineralogie.'' 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2005, ISBN 3-540-23812-3.
* {{Literatur |
* {{Literatur |
* {{Literatur |
* {{Literatur |
* Hahn, Theo (Hrsg.): ''[[International Tables for Crystallography]] Vol. A.''
* Will Kleber
* Walter Borchard-Ott
== Einzelnachweise ==
<references />
{{Navigationsleiste Kristallsysteme}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4312570-0}}
[[Kategorie:Kristallographie]]
[[Kategorie:Hexagonales Kristallsystem| ]]
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