Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte oder das Mittellot oder (österreichisch) Streckensymmetrale ist eine besondere Gerade, die in der ebenen Geometrie untersucht wird. Eine Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist die Mittellotebene.

Definition

Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, die jeweils von zwei gegebenen Punkten denselben Abstand haben:

$s=\left\{X\mid {\overline {XA}}={\overline {XB}}\right\}$

Eine andere Definitionsmöglichkeit lautet: Die Mittelsenkrechte ist die Menge der Schnittpunkte aller Kreise, die durch zwei gegebene Punkte gehen.

Die Mittelsenkrechte ist also eine Gerade, die orthogonal (das heißt senkrecht) auf der Verbindungsstrecke der zwei Punkte steht und durch deren Mittelpunkt geht.

Konstruktion

Konstruktion einer Streckensymmetrale

Man konstruiert eine Mittelsenkrechte zwischen zwei gegebenen Punkten $A$ und $B$, indem man um diese beiden Punkte mit einem Zirkel Kreisbögen zeichnet mit gleichem Radius, der größer als die halbe Strecke zwischen den beiden Punkten sein muss. Die zwei Schnittpunkte dieser beiden Kreislinien bestimmen eine Gerade. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte der Strecke $AB$.

Berechnung im Koordinatensystem

Sind in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem zwei Punkte $A(x_{A}|y_{A})$ und $B(x_{B}|y_{B})$ mit $y_{A}\neq y_{B}$ gegeben, so lautet die Geradengleichung der Mittelsenkrechten :

$y=-{\frac {x_{A}-x_{B}}{y_{A}-y_{B}}}x+{\frac {x_{A}^{2}-x_{B}^{2}+y_{A}^{2}-y_{B}^{2}}{2\cdot (y_{A}-y_{B})}}$

Ist $y_{A}=y_{B}$, so lautet die (Nicht-Funktions-)Gleichung: $x={\frac {1}{2}}(x_{A}+x_{B})$

Beispiel

Für jede Position der Strecke ${\overline {AB}}$ (grün) auf der zu ihr rechtwinkligen Geraden $g_{1}$ (blau), gilt für die Mittelsenkrechte $m_{s}$ (rot) die Geradengleichung $y=-0{,}5\;x+0{,}625.$

Es sei die Strecke ${\overline {AB}}$ (grün) mit den Koordinaten $A\;(2{,}5|-5)$ und $B\;(6|2)$. Darin ist $x_{A}=2{,}5,\;x_{B}=6,\;y_{A}=-5$ und $y_{B}=2.$

Werte in Geradengleichung eingesetzt

${\begin{aligned}y&=-{\frac {2{,}5-6}{-5-2}}\;x+{\frac {2{,}5^{2}-6^{2}+(-5)^{2}-2^{2}}{2\cdot (-5-2)}}\\&=-{\frac {-3{,}5}{-7}}\;x+{\frac {6{,}25-36+25-4}{-14}}\\&=-{\frac {-3{,}5}{-7}}\;x+{\frac {-8{,}75}{-14}},\\\end{aligned}}$

ergeben für die Geradengleichung der Mittelsenkrechten

 $y=-0{,}5\;x+0{,}625.$

Mittelsenkrechten im Dreieck

Mittelsenkrechte im gleichschenkligen Dreieck quasi als Winkelhalbierende; der Scheitel liegt außerhalb der Zeichenebene.

Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, nämlich im Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Dieser Umkreis geht durch alle Ecken des Dreiecks (siehe dazu auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck).

Im gleichschenkligen Dreieck kann die Mittelsenkrechte, für den Winkel am Scheitel der beiden gleichen Schenkel, auch die Funktion der Winkelhalbierenden erfüllen. Dies ist insbesondere bei gleichschenkligen Dreiecken vorteilhaft, bei denen der Scheitel nicht innerhalb der Zeichenebene liegt.

Mittellotebene

Die Mittellotebene zu zwei Punkten $A$ und $B$ im Raum ist die Ebene, die zur Verbindungsstrecke $[AB]$ senkrecht ist und durch den Mittelpunkt $M$ dieser Strecke geht, also die Symmetrieebene der Punkte $A$ und $B$.

In der analytischen Geometrie erhält man eine Gleichung der Mittellotebene in Normalenform dadurch, dass man den Vektor ${\vec {n}}={\vec {AB}}$ als Normalenvektor und den Punkt $M$ (mit dem Ortsvektor ${\vec {m}}$) als Aufpunkt verwendet:

${\vec {n}}\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {m}}\right)=0$

Siehe auch

• Symmetrale
• Umkreis

Literatur

• Rolf Baumann: Geometrie. mit Übungen und Lösungen. Mentor, München 2002, Kapitel 3.1. 
• Cornelia Niederdrenk-Felgner: Lambacher-Schweizer. Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden Württemberg). Klett, Stuttgart 1994, ISBN 3-12-731370-5. 

Weblinks

Wiktionary: Mittelsenkrechte – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen