Siebzehneck

regelmäßiges Siebzehneck

Das Siebzehneck ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Berechnungen ergeben sich aus den allgemeinen Formeln für Polygone.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Eigenschaften

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist, das heißt, es kann unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den Euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden. Dies wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 nachgewiesen. Er zeigte, dass für den Kosinus des Zentriwinkels

$\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)$

gilt, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt. Außerdem lassen sich damit auch verschiedene Werte des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius und Fläche berechnen.

Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit dem Umkreisradius r_u

Seitenlänge	$s=r_{u}{\sqrt {2\left(1-\cos \left({\frac {360^{\circ }}{17}}\right)\right)}}\approx 0{,}3675\cdot r_{u}$
Umfang	$U=r_{u}17{\sqrt {2\left(1-\cos \left({\frac {360^{\circ }}{17}}\right)\right)}}\approx 6{,}2475\cdot r_{u}$
Inkreisradius	$r_{i}=r_{u}{\sqrt {\frac {1+\cos \left({\frac {360^{\circ }}{17}}\right)}{2}}}\approx 0{,}983\cdot r_{u}$
Fläche	$A=r_{u}^{2}{\frac {17}{2}}{\sqrt {1-\cos ^{2}\left({\frac {360^{\circ }}{17}}\right)}}\approx 3{,}071\cdot r_{u}^{2}$

Mathematischer Hintergrund

Datei:Stamps of Germany (DDR) 1977, MiNr 2215.jpg

Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977; Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Dreieck

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung $x^{17}-1=0$ zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die 17. Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch von geschachtelten Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der „ersten“ von 1 verschiedenen Lösung $\zeta =e^{2\pi i/17}$). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“ aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl $p$ gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen $1,\ldots ,{p-1}$ können nämlich als Potenzen $g^{0}=1,g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-2}$ einer sogenannten Primitivwurzel $g$ dargestellt werden, wobei im Fall $p=17$ konkret $g=3$ gewählt werden kann:

${\begin{aligned}&1,\quad 3\cdot 1=3,\quad 3\cdot 3=9,\quad 3\cdot 9\mod 17=10,\quad 3\cdot 10\mod 17=13,\\&5,\;15,\;11,\;16,\;14,\;8,\;7,\;4,\;12,\;2,\;6\end{aligned}}$

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17-ten Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

$\zeta ,\ \zeta ^{3},\ \zeta ^{9},\ \zeta ^{10},\ \zeta ^{13},\ \zeta ^{5},\ \zeta ^{15},\ \zeta ^{11},\ \zeta ^{16},\ \zeta ^{14},\ \zeta ^{8},\ \zeta ^{7},\ \zeta ^{4},\ \zeta ^{12},\ \zeta ^{2},\ \zeta ^{6},$

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:

• Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
• Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
• Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel $\zeta +\zeta ^{16}=\zeta +\zeta ^{-1}=2\cos(2\pi /17)$.

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form $2^{2^{k}}+1$ durchführen. Fünf solche Primzahlen, die „Fermatsche Primzahlen“ genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Konstruktion

Johannes Erchinger legte im Jahre 1825 erstmals eine geometrische Konstruktionsanleitung für das regelmäßige Siebzehneck der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor und Gauß besprach die Arbeit 1825 in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen. Die folgende einfachere Konstruktion stammt von Herbert W. Richmond aus dem Jahr 1893.

Konstruktionsskizze

Animation der Skizze

Ist ein Kreis k₁ (der Umkreis um das entstehende Siebzehneck) um den Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

1. Zeichnen eines Durchmessers von k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B.
2. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k₁ sind C und D.
3. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO.
4. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA.
5. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₁ zwischen OF und FA.
6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₂ zwischen m und w₁; Schnittpunkt mit AB ist G.
7. Konstruktion der Senkrechten s zu w₂ durch F.
8. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₃ zwischen s und w₂; Schnittpunkt mit AB ist H.
9. Konstruktion des Thaleskreises k₂ (mit Mittelpunkt M) über HA; Schnittpunkte mit CD sind J und K.
10. Konstruktion eines Kreises k₃ um G, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N (dabei liegt N sehr nahe an M).
11. Konstruktion der Tangente an k₃ durch N; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte P₃ und P₁₄ des Siebzehnecks.
12. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d₁ = AP₃ von k₁ auf k₁ – ab dem Eckpunkt P₃ entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P₁₄ im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k₁ sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
13. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Siehe auch

• Kreisteilung

Literatur

• Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, S. 101–118.

Weblinks

Commons: Siebzehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Heptadecagon. Das Siebzehneck nach H. W. Richmond bei: MathWorld.com (englisch).