Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung (auch Matrix-Langevin-Verteilung) ist Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der multivariaten Statistik untersucht wird. Es handelt sich hierbei um die matrixvariate Von-Mises-Fisher-Verteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit. Sie findet Anwendung in der gerichteten Statistik.

Die Verteilung wurde 1972 von Thomas D. Down eingeführt und ist nach Richard von Mises und Ronald Fisher benannt.

Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Sei

• $V_{n,p}:=V_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, wir können die Mannigfaltigkeit als $V_{n,p}=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=I_{p},\;p\leq n\}$ identifizieren,
• $[dX]$ das Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß auf $V_{n,p}$,
• ${}_{0}F_{1}^{(2)}(b;S)$ die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument, d. h. $b\in \mathbb {C}$ und $S\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ symmetrisch,
• $\operatorname {etr} (S)=\exp(\operatorname {tr} (S))$,

dann ist die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung zum $n\times p$-Parameter $F$ definiert als

$L(X;F)={\frac {\operatorname {etr} (F'X)[dX]}{{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}},\quad X\in V_{n,p}.$

${}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)$ kann mit Hilfe von zonalen Polynome als Reihe dargestellt werden.

Normalisierungskonstante

Die Integraldarstellung

$\int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)[dX]={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}FF'\right)$

wurde 1961 von Alan T. James bewiesen. Sei $F$ vom Rang $p$ und $F=MDV^{T}$ die Singulärwertzerlegung, dann gilt

${}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}D^{2}\right)$

mit $D^{2}=\operatorname {diag} (d_{1}^{2},\dots ,d_{p}^{2})$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

$M_{X}(Z)=\int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)\operatorname {etr} (ZX)[dX]={\frac {{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}(F'+Z)(F'+Z)'\right)}{{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}}.$

Verallgemeinerung

Down studierte die Verteilung auf der Stiefel-C-Mannigfaltigkeit $S(C)=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=C,\;p\leq n\}$, wobei $C$ eine positiv definite $p\times p$-Matrix ist.

Literatur

• Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch). 
• Yasuko Chikuse: Concentrated matrix Langevin distributions. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 85, 2003, S. 375–394, doi:10.1016/S0047-259X(02)00065-9 (englisch). 
• Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817 (englisch). 

Einzelnachweise

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart