Abstract
A simple and reliable solver based on an exclusion method is formulated to find all the zeros of a nonlinear function in a given bounded domainD. The algorithm automatically searchesD and returns small domains which contain all the zeros inD up to some prespecified accuracy ε. The Running Time isO(log1/ε)when two simple exclusion functions are implemented in the solver. Global information in the form of bounds on derivatives,M, is employed in these exclusion functions. This guarantees a reliable result without the risk of missing any zeros. The concept of a Dominating Function is introduced and an algorithm is formulated which computesM on every subdomaind inD automatically and efficiently. Pre-processing can be used for a class of functions to find a bounded subdomain ofD (which may itself be unbounded) which contains all the zeros inD. Three computational examples are given.
Zusammenfassung
Ein einfaches und zuverlässiges Verfahren zur Nullstellenbestimmung nichtlinearer Funktionen in einem beschränkten GebietD wird formuliert. Die Methode basiert auf einem Ausschließungsprinzip; der Algorithmus untersuchtD und liefert als Resultat kleine Teilgebiete vonD, die alle Nullstellen enthalten. Diese Gebiete bestimmen die Nullstellen bis auf eine im voraus festgelegte Genauigkeit ε. Für den Fall, daß zwei einfache Ausschließungsfunktionen verwendet werden, ist die Laufzeit von der GrößenordnungO(log1/ε). In die Konstruktion der Ausschließungsfunktionen geht globale Information in Form einer SchrankeM für die Ableitungen der Funktion ein. Dies garantiert ein zuverlässiges Verfahren, das alle Nullstellen erfaßt. Der Begriff einer dominanten Funktion wird eingefülhrt, und ein Algorithmus, der auf jedem Teilgebietd vonD die benötigte SchrankeM effektiv berechnet, wird angegeben. Durch Vorausüberlegungen ist es mönglich, für gewisse Funktionenein beschränktes TeilgebietD eines möglicherweise unbeschränkten Definitionsgebietes zu konstruieren, das alle Nullstellen enthält. Das Verfahren wird an drei Beispielen numerisch illustriert.
Similar content being viewed by others
Explore related subjects
Discover the latest articles, news and stories from top researchers in related subjects.References
Allgower, E. L., Georg, K.: Relationship between deflation and global methods in the problem of approximating additional zeros of a system of nonlinear equations. In: Homotopy Methods and Global Convergence. New York: Plenum Press 1983.
Carr, J., Mallet-Paret, J.: Smooth homotopies for finding zeros of entire functions. In: Homotopy Methods and Global Convergence. New York: Plenum Press 1983.
Delves, L. M., Lyness, J. N.: A numerical method for locating the zeros of an analytic funciton. Math. Comp.21, 543–560 (1967).
Henrici, P.: Applied and Computational Complex Analysis. New York: John Wiley & Sons. 1974.
Hochstrasser, U.: Numerical methods for finding solutions of nonlinear equations. In: Survey of Numerical Analysis (Todd, J., ed.), pp. 255–278. New York: McGraw-Hill 1962.
Kearfott, R. B.: An efficient degree-computation method for a generalized method of bisection. Numer. Math.32, 109–127 (1979).
Melzer, H., Rannacher, R.: Spannungskonzentrationen in Eckpunkten der Kirchhoffschen Platta. Bauingenieur55, 181–184 (1980).
Ortega, J. M., Rheinboldt, W. C.: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. New York: Academic Press 1970.
Williams, M. L.: Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension. J. Appl. Mech.19, 526–528 (1952).
Ying, X.: A reliable root solver for automatic computation without application to stress analysis of a composite plane wedge D. Sc. dissertation, Washington University in St. Louis, 1986,
Ying, X., Katz, I. N.: A reliable argument principle algorithm to find the number of zeros of an analytic function in a bounded domain. Numerische Mathematik53, 143–163 (1988).
Ying, X., Katz, I. N.: A uniform formulation for the calculation of stress singularities in the plane elasticity of a wedge composed of multiple isotropic materials. Comput. Math. Applic.14, 437–458 (1987).
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
This research was supported by the U.S. Air Force Office of Scientific Research unter grant number AFOSR-82-0315.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Ying, X., Katz, I.N. A simple reliable solver for all the roots of a nonlinear function in a given domain. Computing 41, 317–333 (1989). https://doi.org/10.1007/BF02241221
Received:
Revised:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02241221