Un curso de Cálculo Vectorial

Introducción

En cierto modo, el Cálculo Vectorial es una generalización del Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. En Cálculo Diferencial e Integral estudiamos funciones f : I → R , cuyo dominio (el conjunto de partida) es un subconjunto de los números reales, por ejemplo un intervalo cerrado I = [a, b] ⊆ R , y su contradominio (el conjunto de llegada) es el conjunto de los números reales. Para este tipo de funciones, llamadas funciones reales, calculamos (siempre que existan) sus derivadas, integrales, límites, etc., así como también mostramos su presencia en la naturaleza. Para recordar estos conceptos, el autor sugiere estudiar los siguientes textos clásicos para los diferentes cursos de Cálculo: [Apostol, 1991], [Apostol, 1969], [Stewart, 2008], [Stewart, 2011], [Larson, et al, 2006]. En Cálculo Vectorial estudiamos funciones cuyos dominios o contradominios tienen dimensión mayor o igual que dos, es decir, su dominio consiste de puntos en una región del plano, o en un sólido en el espacio tridimensional, o, por otro lado, su contradominio es el espacio R n, donde n ≥ 2. Este tipo de funciones serán estudiadas en este texto, a las que además le calcularemos derivadas, integrales, límites, entre otras nociones, y las aplicaciones de cada una de ellas en diversos problemas prácticos.

La temática presentada en este curso está presente en diversos programas de Educación superior: claramente en Matemáticas y en Física (ver [Griffiths, 2005], [Serway, 2009], [Goldstein, 2002], [Saletan, 2000], Teoría de la relatividad [Radix, 1994], [Bert, 2013]); en las Ingenierías Mecánica (Dinámica de fluidos, ver [Yunus, 2010], [Anderson, 2017], Termodinámica, ver [Griffiths, 2005], [Truesdell, 2004], [Mura, 1992]), Mecatrónica (Dinámica de fluidos, Termodinámica), Eléctrica (Termodinámica y fluidos, ver [Griffiths, 2005], [Yunus, 2010]), Electrónica (Circuitos eléctricos), Civil (Dinámica de fluidos, ver [Yunus, 2010], Mecánica de Estructuras, ver [Cervera, 2002], [Soedel, 2004], Estática, ver [Beer]), Química y Ambiental (Dinámica de fluidos, Termodinámica, Introducción a la termodinámica en la Ingeniería Química, ver [Smith, 2007], [Engel, 2007]), Naval (Termodinámica, Dinámica de fluidos), Biomédica (Circuitos eléctricos, Biomecánica, ver [Aguilar, 2000]), Industrial (Optimización, ver [Deb, 2012]), de Sistemas y Computación (Machine learning, ver [Deisenroth, 2020], [Ng, 2000]); Economía (ver [Charles, 1928], [Olsson, 1971]); en Estadística y Probabilidad (ver [Ross, 2014], [Deisenroth, 2020], [Walpole, 2012]); en Neurociencia (ver [Archibald, 2002]); Astronomía y dinámica celeste (ver [Grant, 2004], [Fitzpatrick, 2012], [Liu, 2019], [Brucker, 2007]).

A continuación, describiremos los diferentes tipos de funciones que estudiamos en los cursos de Cálculo. Adicionalmente, presentaremos diversas situaciones en las cuales están presentes, para que el lector entre en contexto:

Funciones reales: son aquellas de la forma f : I → R , donde I es un subconjunto de los números reales. Estas funciones son ampliamente estudiadas en los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral.

Funciones vectoriales: son aquellas de la forma r : I → R n , donde I es un es un subconjunto de los números reales y n ≥ 2. Estas funciones son de mucha utilidad al momento de describir la trayectoria de una partícula: cada valor t en un intervalo I = [ a, b ] representa el tiempo transcurrido y la imagen r ( t ) (el cual es un punto o un vector en R n ) representa la posición de la partícula en el instante t . Con las derivadas de las funciones vectoriales podemos obtener la velocidad y la aceleración de la partícula en todo punto de su trayectoria. Por medio de la integral podemos obtener la velocidad y luego la posición de la partícula a partir de la aceleración (ver también [ Montesdeoca, 2004 ], [Do Carmo, 2016]).

Funciones de varias variables: son aquellas de la forma f : A → R , donde A es un subconjunto de R n , con n ≥ 2. Estas funciones las podemos utilizar para representar la temperatura, el potencial, la magnitud de una fuerza, la altura, la producción, entre otras características, que dependen de dos o más valores. Con las derivadas parciales podemos calcular la razón de cambio de la función cuando a partir de una posición nos desplazamos en direcciones paralelas a los ejes coordenados y luego con la derivada direccional podemos ver esta razón de cambio cuando nos dirigimos en cualquier dirección. También podemos determinar los valores máximos y mínimos de una función de varias variables. Con el vector gradiente, el cual es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de la función, podemos ver hacia donde crece más rápidamente la función a partir de un punto dado. Por otro lado, con las integrales de funciones de varias variables podemos determinar el área de una región, el volumen de un sólido, el área de una superficie, el valor promedio de la función, los centros de masa, los momentos de inercia, la probabilidad de que dos o más eventos simultáneos ocurran, entre otras aplicaciones (ver [Charles, 1929], [Fernández, 2016], National Oceanic and Atmospheric Administration, [Ross, 2014]).

Campos vectoriales: son aquellas de la forma F : A → R m , A es un subconjunto de R n , con n ≥ 2, y m ≥ 2. En algún momento de nuestra vida hemos escuchado hablar sobre el campo magnético de la Tierra, el campo gravitacional, o sobre campos eléctricos. Pues bien, estos son ejemplos de campos vectoriales. Con los campos vectoriales también podemos representar la velocidad y la dirección de las partículas de un fluido (agua, gas, etc), o la intensidad y la dirección de campos de fuerza (ver [Griffiths, 2005]).

El autor dispone de un canal de Youtube llamado Cálculo Vectorial con GeoGebra, el cual cuenta con una amplia lista de videos en los que se desarrolla gran parte del contenido de este texto.

El curso de Cálculo Vectorial es bastante geométrico, dado que el espacio ambiente de trabajo es R n para cualquier n ≥ 1. En este texto nos encontraremos con gráficos de vectores, curvas, planos, superficies, regiones en el plano, sólidos en el espacio tridimensional, entre otras figuras y otras situaciones con problemas de aplicación. La mayoría de estas figuras se realizaron con GeoGebra y se encuentran en los perfiles: "https://www.geogebra.org/u/jeovannyjr y https://www.geogebra.org/u/jeovannyjr12".

Ahora, presentamos la lista de capítulos que serán tratados en este texto:

Capítulo 1 : El espacio tridimensional.

Capítulo 2 : Ecuaciones de la recta y del plano.

Capítulo 3 : Superficies.

Capítulo 4 : Funciones vectoriales y curvas paramétricas.

Capítulo 5 : Teorema fundamental de la teoría local de curvas.

Capítulo 6 : Funciones de varias variables.

Capítulo 7 : Límite y continuidad de funciones de varias variables.

Capítulo 8 : Derivadas parciales.

Capítulo 9 : Máximos y mínimos de funciones de varias variables.

Capítulo 10 : Integrales dobles.

Capítulo 11 : Integrales triples.

Capítulo 12 : Campos vectoriales.

Capítulo 13 : Integrales de línea.

Capítulo 14 : Integrales de superficie.

Capítulo 15 : Teorema de Stokes y de la divergencia de Gauss.

A continuación, describiremos la temática a tratar en este texto.

Dado que a lo largo del curso trabajaremos con vectores y con el espacio de dimensión tres, en el Capítulo 1 hablaremos sobre el espacio tridimensional y su geometría, es decir, veremos las características fundamentales de este espacio. Presentaremos las definiciones de vector, combinación de vectores (suma, resta y multiplicación por un escalar), magnitud, producto escalar, ángulo, proyección entre vectores, coordenadas polares, cilíndricas, esféricas, cosenos directores, producto vectorial y las respectivas aplicaciones de cada una de estas nociones. Para esta parte del curso, referida a conceptos de Álgebra Lineal, el autor recomienda los textos [Hoffman, et al, 1973] y [Grossman, 2008].

En el Capítulo 2, presentaremos las ecuaciones de la recta y del plano. Inicialmente, estas serán obtenidas en su forma vectorial. A partir de estas ecuaciones vectoriales, hallaremos las ecuaciones paramétricas y simétricas, para el caso de una recta, y las ecuaciones escalar y lineal, para el caso de un plano. Encontraremos el ángulo entre dos rectas o dos planos, rectas paralelas, planos paralelos, distancia entre un punto y una recta o un plano. Todas las fórmulas que serán presentadas, poseen de forma rigurosa y geométrica sus respectivas demostraciones, lo cual facilitará la comprensión de las mismas por parte del lector.

Continuando con la Geometría del espacio tridimensional, en el Capítulo 3 presentaremos varios tipos de superficies, las cuales serán de gran de utilidad para graficar curvas obtenidas como imagen de funciones vectoriales, como veremos en el Capítulo 4, y también para graficar funciones de dos variables, como veremos más adelante en este texto. Las superficies que serán presentadas aquí son las siguientes: el elipsoide, la esfera, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, superficies cilíndricas, superficies de revolución y el toro (ver también [Do Carmo, 2016]).

En el Capítulo 4, estudiaremos las funciones vectoriales y curvas paramétricas. Presentaremos la definición de este tipo de funciones y hallaremos su dominio, graficaremos su imagen, la cual es una curva en el contradominio de la función, y parametrizaremos curvas en el plano o en el espacio, es decir, encontraremos funciones vectoriales cuya imagen es la curva dada. Además de eso, calcularemos límites, derivadas e integrales de estas funciones, así como sus diversas aplicaciones.

En el Capítulo 5, veremos propiedades intrínsecas de una curva, es decir, aquellas propiedades que son independientes de la parametrización escogida, como lo son su longitud, vectores tangente unitario, normal y binormal (triedro de Frenet-Serret), aceleración normal y tangencial, planos osculador, normal y rectificante, curvatura y torsión. Finalizaremos el capítulo presentando el Teorema fundamental de la teoría local de curvas, el cual nos dice que la curvatura y la torsión, en cierta forma, determinan una única curva en el espacio tridimensional (ver también [Montesdeoca, 2004] y [Do Carmo, 2016]).

En el Capítulo 6, comenzaremos a trabajar con funciones de varias variables, las cuales son funciones cuyo dominio es una región en el espacio R n y tienen imagen real. Hallaremos su dominio, rango, gráficos, curvas y superficies de nivel y aplicaciones. Además de eso, en el Capítulo 7 presentaremos las nociones de límite y continuidad para estas funciones.

Con las derivadas parciales, las cuales serán presentadas en el Capítulo 8, podemos calcular la razón de cambio de una función de varias variables con respecto a cada una de sus variables. Veremos también funciones diferenciables, regla de la cadena para composición de funciones de varias variables, derivación implícita, plano tangente, vector gradiente, derivadas direccionales y derivadas parciales de segundo orden.

Las derivadas parciales serán de gran utilidad para encontrar los máximos y mínimos de una función de varias variables, como veremos en el Capítulo 9, en donde además veremos aplicaciones de la maximización o minimización de funciones utilizando multiplicadores de Lagrange.

En los Capítulos 10 y 11 veremos integrales dobles de funciones de dos variables e integrales triples de funciones de tres variables, respectivamente. Con estas integrales, podemos hallar el volumen de un sólido, el área de regiones y de superficies, el valor promedio de funciones, centros de masa, momentos de inercia y, como veremos en los Capítulos 13, 14, 15, podemos calcular el trabajo realizado por un campo de fuerzas, el flujo de un fluido a través de una superficie, entre otras aplicaciones. Veremos el Teorema de Fubini, el cual nos indica cómo calcular la integral doble o triple de funciones de varias variables en regiones rectangulares. Además, integrales dobles y triples en regiones más generales, coordenadas polares, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas y Teorema de Pappus.

Un campo vectorial es una función cuyo dominio es una región en R n y sus imágenes son vectores en R m. Este tipo de funciones serán estudiadas en el Capítulo 12, en donde, además, veremos su presencia en la naturaleza. Estos campos vectoriales pueden representar la acción de una fuerza actuando en el movimiento de una partícula, o la dinámica de un fluido, o los vectores intensidad de campos magnéticos, eléctricos, entre otros campos. Con las integrales de línea de los campos vectoriales, como veremos en el Capítulo 13, podemos calcular el trabajo realizado por un campo de fuerzas, representado por el campo, al mover una partícula a lo largo de cierta trayectoria. Veremos también los Teoremas fundamentales de las integrales de línea y el Teorema de Green, los cuales son herramientas de gran utilidad para simplificar el cálculo de las integrales de línea. También estudiaremos las integrales de línea de funciones de varias variables, con las cuales podemos calcular área de superficies verticales, centros de masa, altura promedio de superficies verticales, momentos de inercia, entre otras aplicaciones.

Un campo vectorial también puede representar la dinámica de un fluido. En este caso, con la integral de superficie del campo podemos calcular la cantidad de masa del fluido que atravieza una superficie por unidad de tiempo. Esto lo veremos en el Capítulo 14, en donde además veremos parametrización de superficies, área de superficies, integrales de funciones de tres variables en superficies y aplicaciones en Física, en Termodinámica y en Dinámica de fluidos.

El contenido de este texto finalizará en el Capítulo 15, en el cual presentaremos el Teorema de Stokes y el Teorema de la divergencia de Gauss. El Teorema de Stokes nos brinda una relación entre una integral de superficie de un campo vectorial con una integral de línea. El Teorema de la divergencia nos relaciona una integral de superficie con una integral triple. Estos dos teoremas son fundamentales en Física, específicamente en las ecuaciones de Maxwell, teoría de la relatividad y en la dinámica de fluidos.

Finalizaremos esta introducción presentando una breve reseña de la elaboración de este texto. La escritura de este libro fue iniciada en el 2019, cuando el autor comenzó a impartir el curso de Cálculo Vectorial en la Universidad Tecnológica de Bolívar (UTB). Inicialmente, la finalidad era realizar unas notas de clases, en las que se encontrara la temática que se aborda en este curso en la UTB. Al notar la aceptación y el agrado que causaba en los estudiantes la presentación de las primeras versiones de estas notas, el autor se motivó a mejorar lo expuesto para que luego se convirtiese en un texto guía del curso. Luego se fueron incluyendo temáticas y aplicaciones que normalmente no se abordan en el curso pero que sirviera de consulta a los estudiantes de las materias afines. Semestre tras semestre, los estudiantes colaboraron en la revisión y en la corrección del texto, ya que a lo largo de las diferentes versiones se encontraban errores de digitación y hasta de cálculos matemáticos. Varios de los ejemplos y observaciones en el texto fueron inspirados a partir de las preguntas e inquietudes que los estudiantes realizaron durante el desarrollo de las clases. El autor agradece grandemente a los estudiantes de la UTB que tuvo en sus clases durante la escritura de esta obra, ya que ellos jugaron un papel importante en la elaboración de la misma.

Por otro lado, los aportes de Julio Castro, Carlos Payares, Jorge Muñiz y Jorge Villalba, profesores de la Facultad de Ciencias Básicas de la UTB, fueron de gran ayuda para mejorar la calidad del texto, ya que ellos propusieron que cierto tipo de ejemplos, de ejercicios y de aplicaciones, se incluyeran aquí para marcar un diferencial con lo que se encuentra con frecuencia en la literatura. Además, ellos indicaron mejorar la escritura y presentación de ciertas definiciones y también hallaron errores en algunos cálculos para corregir. El autor agradece enormemente estas apreciaciones sugeridas por los profesores.

Textos como Cálculo de varias variables: trascedentes tempranas de James Stewart (ver [Stewart, 2008]) y Multi-variable calculus and linear algebra, with applications to differential equations and probability de Tom Apostol (ver [Apostol, 1969]) fueron obras fundamentales y de apoyo para la elaboración de este libro, ya que varios ejemplos y ejercicios expuestos en los textos mencionados sirvieron como fuente de inspiración para algunos presentados aquí.

Los ejemplos presentados en este texto buscan estimular el desarrollo y la práctica de la lógica matemática por parte del lector. Los ejercicios propuestos pueden ser solucionados con lo expuesto en la temática previa, algunos son modificaciones de los ejemplos abordados y otros requieren reunir técnicas utilizadas en dos o más ejemplos. Se motiva al lector a que antes de intentar resolver los ejercicios, estudie todos los ejemplos presentados sobre la temática correspondiente.

01

El espacio tridimensional

En este texto estudiaremos funciones cuyo dominio es un subconjunto de R n, donde n puede ser cualquier número natural mayor o igual que 1, y su contradominio está formado por vectores en el plano cartesiano o en el espacio tridimensional, o más generalmente, en el espacio n-dimensional. Por esta razón, en este capítulo trataremos con vectores, operaciones con vectores y sus propiedades, las cuales son temáticas que serán utilizadas a lo largo de este texto y servirán para que el lector recuerde estas nociones propias del curso de Álgebra Lineal. Para esta primera parte, el autor recomienda la lectura de los textos [Grossman, 2008], [Hoffman, et al, 1973], [Stewart, 2011], en donde se encuentra bien detallada la temática de este capítulo y las demostraciones de los teoremas.

Las siguientes son notaciones que utilizaremos a lo largo del texto para hacer referencia a los diferentes espacios euclidianos:

1.1.El espacio tridimensional

El lector está familiarizado con el plano bidimensional, el cual es definido como el conjunto de pares ordenados: R ² = {(x, y) : x, y R }. En esta sección presentaremos el espacio tridimensional R ³ = {(x, y, z) : x, y, z R } y veremos algunas de sus propiedades. En la Figura 1.1.1 mostramos la representación geométrica de este espacio: tenemos 3 ejes en este caso, el eje x, el eje y y el eje z. Los ejes x y y son horizontales y el eje z es vertical. Cada eje forma un ángulo de 90° con respecto a otro eje.

Figura 1.1.1:El espacio tridimensional

Cualquier punto en el plano bidimensional se puede representar como un par ordenado (a, b), donde a es la coordenada correspondiente al eje x (eje horizontal) y b es la coordenada correspondiente al eje y (eje vertical), como podemos ver en la Figura 1.1.2a. Para localizar un punto en el espacio tridimensional, el cual es mostrado en la Figura 1.1.1, se requieren tres cantidades. El punto se representa con la terna ordenada (a, b, c) de números reales, donde a es la coordenada en el eje x (el cual es un eje horizontal que sale de la hoja), b es la coordenada en el eje y (el cual es un eje horizontal) y c es la coordenada en el eje z (el cual es el eje vertical), como podemos ver en la Figura 1.1.2b.

Figura 1.1.2:Puntos en el espacio

Ejemplo 1.1.1. Consideremos el punto A = (2, −1, 3). Entonces x = 2, y = −1 y z = 3. En el plano xy (el suelo), ubicamos el punto Q = (2, −1, 0) así como ubicamos el punto (2, −1) en el plano bidimensional. Ya sabiendo donde está el punto Q, dado que el valor de z = 3 es positivo, subimos 3 unidades a partir del punto Q (si el valor de z fuese negativo debemos bajar a partir del punto Q), obteniendo así el punto A (ver Figura 1.1.2c). El valor de z es la altura del punto si z > 0 y profundidad si z < 0.

En el espacio tridimensional podemos distinguir tres planos, los cuales son llamados planos coordenados (ver Figura 1.1.3):

el plano xy (o plano z = 0), el cual contiene a los ejes x y y . Sus puntos son de la forma ( x, y , 0), donde x, y R (la coordenada en z es cero);

el plano yz (o plano x = 0), el cual contiene a los ejes y y z . Sus puntos son de la forma (0, y, z ), donde z, y R (la coordenada en x es cero);

el plano xz (o plano y = 0), el cual contiene a los ejes x y z . Sus puntos son de la forma ( x , 0, z ), donde x, z R (la coordenada en y es cero).

Figura 1.1.3:Planos z = 0, x = 0, y y = 0

Estos tres planos dividen al espacio en 8 octantes (en el caso bidimensional, los ejes x y y dividen al plano en 4 cuadrantes). El primer octante es el que está conformado por los puntos cuyas tres coordenadas son mayores o iguales a cero (ver Figura 1.1.3).

1.2.Vectores

Un vector es segmento de recta en el espacio que parte de un punto hacia otro, es decir, tiene dirección y sentido. Se representa generalmente con una flecha o segmento de recta dirigido (ver Figura 1.2.1a). Los vectores son fundamentales en Física: por ejemplo, el desplazamiento de un punto A a un punto B, la velocidad o aceleración de una partícula, o la fuerza aplicada a un objeto, pueden ser representados con vectores. En esta sección recordaremos algunas propiedades de los vectores. Denotaremos los vectores con una letra en negrita (v) o escribiendo una flecha sobre la letra ( ). Si un vector tiene punto inicial A y punto terminal B lo podemos escribir como . El segmento de recta que va desde A hasta B lo denotaremos por

AB

.

Figura 1.2.1:Vectores

Definición 1.2.1 (Componentes de un vector). Si A = (x1, x2, …, xn) y B = (y1, y2, …, yn) son respectivamente los puntos inicial y terminal de un vector, el cual será denotado por , entonces las componentes de este vector serán

Si el punto inicial de un vector es el origen O de R n y su punto terminal es A = (x1, …, xn), entonces el vector = x1, …, xn se llama vector posición del punto A.

Definición 1.2.2 (Vectores equivalentes). Si dos vectores tienen la misma dirección, sentido y longitud decimos que los vectores son equivalentes o simplemente son iguales (ver Figura 1.2.1b).

De esta forma, dos vectores v = x1, x2, …, xn y u = y1, y2, …, yn son equivalentes o iguales si y solo si x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn.

1.3.Combinación de vectores

Veamos la suma de vectores en forma geométrica con la siguiente situación. Imagine que una partícula se mueve de un punto A a un punto B, así, es su vector de desplazamiento. A partir de B se mueve hasta el punto C, con vector de desplazamiento . De la combinación de estos desplazamientos nos resulta el desplazamiento de A hasta C. El vector de desplazamiento resultante se llama la suma de y y se escribe

como podemos ver en la Figura 1.3.1a.

Figura 1.3.1:Suma de vectores

Si v y u son vectores colocados de modo tal que el punto inicial de u coincida con el punto terminal de v, entonces la suma v + u es el vector con el mismo punto inicial de v y con el mismo punto terminal de u (ver Figura 1.3.1b). La siguiente definición nos muestra la suma de vectores en función de sus componentes.

Definición 1.3.1 (Suma vectorial). Si v = x1, x2, …, xn y u = y1, y2, …, yn , entonces la suma entre v y u, denotada por v + u, es dada por

Veamos ahora cómo podemos multiplicar un vector por un número real. En la Figura 1.3.2a observamos el vector v = .

El vector u = , el cual tiene la misma dirección y sentido del vector v, pero el doble de su longitud, es el vector 2v, esto es, u = 2v.

El vector w = , el cual tiene la misma dirección y sentido del vector v , pero la mitad de su longitud, es el vector v , esto es, w = v .

El vector r = , el cual tiene la misma dirección y magnitud del vector v , pero de sentido contrario, es el vector (− 1) v , esto es, r = (− 1) v = − v .

En general, si c es un número real y v es un vector, podemos realizar la multiplicación cv, el cual es el vector cuya longitud es |c| multiplicado por la longitud de v y cuya dirección es la misma de v si c > 0 y opuesta si c < 0. Si c = 0 o v = 0, entonces cv = , el vector cero (ver Figura 1.3.2b).

Figura 1.3.2:Operaciones con vectores

Definición 1.3.2 (Multiplicación por un escalar). Dados c R y v = x1, x2, …, xn , la multiplicación del vector v por el escalar c es dada por

Dado un vector u, el vector -u tiene la misma dirección y longitud del vector u, pero con sentido contrario (ver Figura 1.3.2c). La diferencia entre dos vectores v y u es obtenida de la suma entre v y el opuesto de u:

Definición 1.3.3 (Diferencia o resta de vectores). La diferencia entre v y u, denotada por v − u, es obtenida como

Si v = x1, x2, …, xn y u = y1, y2, …, yn , entonces

En la Figura 1.3.2c observamos la diferencia entre los vectores v = y w = obteniendo el vector v − w = (el vector es igual al vector − ).

Ejemplo 1.3.4. Si v = − 2, 3 y u = 1, 2 (ver Figura 1.3.3), tenemos:

v + u = − 2, 3 + 1, 2 = − 1, 5 .

v − u = − 2, 3 − 1, 2 = − 3, 1 .

.

.

Figura 1.3.3:Operaciones con vectores

Ejemplo 1.3.5. Si v = 2, −1, 0 y u = 4, 2, 9 , tenemos:

v + u = 2, −1, 0 + 4, 2, 9 = 6, 1, 9 .

v − u = 2, −1, 0 − 4, 2, 9 = − 2, −3, −9 .

3 v = 6, −3, 0 .

4 v + 2 u = 8, −4, 0 + 8, 4, 18 = 16, 0, 18 .

El siguiente teorema nos muestra las propiedades que satisfacen las operaciones entre vectores vistas anteriormente.

Teorema 1.3.6. Si v, u, w son vectores en R n, a y b son constantes, tenemos:

v + u = u + v

v +( u + w ) = ( v + u ) + w

v + = v

v + (− v ) =

a ( v + u ) = a v + a u

( a + b ) v = a v + b v

( ab ) v = a ( b v )

1 v = v .

Demostración. En el teorema, denota el vector cero de R n, esto es, = 0, 0, …, 0 . Demostraremos aquí solamente la propiedad asociativa. Supongamos que v = v1, …, vn , u = u1, …, un y w = w1, …, wn . Entonces,

Las demás propiedades se siguen directamente de la definición de suma de vectores y multiplicación por un escalar. □

Definición 1.3.7 (Vectores paralelos). Dos vectores son paralelos si uno es múltiplo escalar no nulo del otro, es decir, si existe un k R \{0} tal que v = ku.

Los vectores en la Figura 1.3.4 son paralelos. Tenemos:

(todos son múltiplo escalar del vector ). Note que si consideramos al conjunto formado por todos los vectores de la forma k , con k variando en el conjunto de los números reales, obtenemos una recta que contiene al vector (ver Figura 1.3.4).

Figura 1.3.4:Vectores paralelos

Ejemplo 1.3.8. v = − 1, 3, 2 y u = 2, −6, −4 son paralelos, pues u = (− 2)v.

Con las operaciones suma de vectores y multiplicación por un escalar, el conjunto R n posee la estructura de un espacio vectorial. En R n existen n vectores fundamentales, los cuales son llamados vectores canónicos de R n:

El conjunto = {e1, e2, …, en} es una base de R n, ya que todo vector de R n puede escribirse como una combinación lineal entre ellos, pues si v = x1, x2, …, xn es un vector en R n, entonces

y además estos vectores son linealmente independientes, es decir, la ecuación = x1e1 + x2e2 + … + xnen tiene única solución x1 = x2 = … = xn = 0. En consecuencia, R n es un espacio vectorial de dimensión n (ver [Hoffman, et al, 1973] y [Grossman, 2008] para más detalle de estas nociones).

Los vectores canónicos en R ² (ver Figura 1.3.5a) son denotados por

Los vectores canónicos en R ³ (ver Figura 1.3.5b) son denotados por

Figura 1.3.5:Vectores canónicos

1.4.Ejercicios propuestos

1.Ubique los puntos (0, 5, 2), (−5, 4, 3), (0, −3, −4) y (−1, 4, 0) en el espacio tridimensional.

a)¿Cuál de esos puntos está en el plano xy?

b)¿Cuál de esos puntos está en el plano xz?

c)¿Cuál de esos puntos está en el plano yz?

2.¿Qué representa el par de ecuaciones x = 2 y z = 3 en R ³? Ilustre con un bosquejo el conjunto de puntos (x, y, z) tales que x = 2 y z = 3.

3.Dibuje cada par de vectores v = y u = . ¿Cuáles son iguales?

a)A = (−1, 5); B = (1, 2). C = (1, 1); D = (3, −2).

b)A = (2, 2); B = (3, 3). C = (0, 0); D = (−1, −1).

c)A = (1, 4, 5); B = (−1, 1, 2). C = (3, 2, 5); D = (3, −2, 4).

4.Para los siguientes puntos A, B, C y D, encuentre los valores de x, y, z (si existen) para que v = y u = sean equivalentes.

a)A = (3, −1), B = (2, 2x), C = (2 − y, 3), D = (x, y).

b)A = (x, 2, z), B = (4, y, −1), C = (2x + z, 2, −3 + 4y), D = (1, x − 1, z).

c)A = (6, y − z, z), B = (x² + x, 2, − y), C = (2, 2y + z, −3 + z), D = (2, −1, y + 4z).

5.Para los ejercicios de (a)-(c), represente geométricamente los vectores dados. Además, encuentre v − 4u, v + 3u.

a)v = − 1, 2 ; u = 2, 1

b)v = 0, −1 ; u = − 3, 4

c)v = − 1, 4, 2 ; u = 2, 4, −1

1.5.Magnitud o longitud de un vector

Definición 1.5.1 (Magnitud de un vector). La magnitud (o longitud o norma) de un vector es la distancia que hay desde su punto inicial hasta su punto terminal. Luego, si A = (a1, a2, …, an) y B = (b1, b2, …, bn), entonces la magnitud del vector = b1 − a1, b2 − a2, …, bn − an (ver Figura 1.2.1a) es dada por

Un vector es llamado unitario si su magnitud es igual a uno.

Figura 1.5.1:Magnitud de un vector

Ejemplo 1.5.2. Si v = − 2, 4, 3 , tenemos que la magnitud de v es:

Ejemplo 1.5.3. La distancia entre dos puntos A y B, denotada por ||

AB

||, es igual a la magnitud del vector . Por ejemplo, la distancia entre A = (−3, 1, 2) y B = (2, −3, 4) es:

1.6.Producto escalar, ángulo y proyección entre vectores

En esta sección definiremos el producto escalar (también llamado producto punto) entre dos vectores y veremos algunas de sus propiedades. Con el producto escalar podemos determinar el ángulo entre dos vectores, hallar proyecciones entre vectores, determinar el trabajo realizado por una fuerza constante para mover una partícula a lo largo de una trayectoria rectilínea, determinar la potencia realizada por una fuerza, entre otras aplicaciones, como veremos en las próximas secciones.

Definición 1.6.1 (Producto escalar). Si v = x1, x2, …, xn y u = y1, y2, …, yn son vectores, el producto escalar de v y u es un número real, denotado por v · u, definido por

Ejemplo 1.6.2. Si v = − 2, 1, 5 , u = 6, 0, 3 , el producto escalar de v y u es

v · u = (− 2)(6) + (1)(0) + (5)(3) = −12 + 15 = 3.

En el siguiente teorema veremos algunas propiedades del producto escalar, las cuales pueden ser mostradas a partir de la definición.

Teorema 1.6.3. Si v, u y w son vectores en R n y k R , tenemos:

v · v = || v || ² .

v · u = u · v .

v · = 0.

v · ( u + w) = v · u + v · w .

( k v ) · u = k ( v · u ).

Demostración. Mostraremos que v · v = || v ||². Supongamos que v = v1, …, vn . Entonces,

Las demás propiedades se siguen directamente de la definición de producto escalar. □

Veamos una de las utilidades del producto escalar. Supongamos que son vectores que tienen el mismo punto inicial. Entonces v y u forman un ángulo θ, como muestra la Figura 1.6.1a. El siguiente teorema muestra una fórmula que nos permite calcular este ángulo.

Figura 1.6.1:Ángulo entre v y u

Teorema 1.6.4. El ángulo θ entre dos vectores v ≠ y u ≠ con el mismo punto inicial, satisface la ecuación

Demostración. Considere que A sea el punto inicial de los vectores v y u y que sus puntos terminales sean B y C, respectivamente. Sea w = = u − v (ver Figura 1.6.1b). Aplicando la ley de los cosenos al triángulo ABC, obtenemos

esto es,

Ahora, de la primera y tercera propiedad en el Teorema 1.6.3, obtenemos que

Así, de las ecuaciones (1.6.1) y (1.6.2), se sigue

|| u ||² − 2v · u + || v ||² = || v ||² + || u ||² − 2|| v || || u || cos θ.

Por lo tanto, −2v · u = −2 || v || || u || cos θ, de donde v · u = || v || || u || cos θ. □

Ejemplo 1.6.5. Hallemos el ángulo entre v = 2, 3 y u = 4, 1 . Tenemos que

Luego, el ángulo entre v = 2, 3 y u = 4, 1 (ver Figura 1.6.2) es

Figura 1.6.2:v = 2, 3 y u = 4, 1

Definición 1.6.6 (Vectores ortogonales). Decimos que dos vectores v ≠ y u ≠ son ortogonales o perpendiculares si el ángulo entre ellos es de (90°).

Proposición 1.6.7. Dos vectores v ≠ y u ≠ son ortogonales si y solo si v · u = 0.

Demostración. La proposición se sigue del hecho de que arccos si y solo si , lo cual es válido si y solo si v · u = 0.□

Finalizaremos esta sección definiendo la proyección de un vector sobre otro vector.