Fórmula de Tanaka

En el cálculo estocástico, la fórmula de Tanaka afirma que:

$|B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}$

donde B_t es el movimiento browniano estándar, sgn es la función signo

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}$

y L_t es su tiempo local en 0 (el tiempo local empleado por B en 0 antes del tiempo t) dado por el límite L²

$L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.$

La fórmula de Tanaka es la descomposición Doob–Meyer explícita de la submartingala |B_t| con respecto a la martingala (la integral del lado derecho), y un proceso creciente continuo (tiempo local). También puede considerarse un análogo del lema de Ito para la función de valor no absoluto (irregular) $f(x)=|x|$, con $f'(x)=\operatorname {sgn}(x)$ y $f''(x)=2\delta (x)$; véase, en tiempo local, una explicación formal del lema de Ito.

Descripción de la prueba

La función |x| no es una función diferenciable finita (C²) en x cuando x = 0, de manera que no es posible aplicar la fórmula de Ito directamente. Sin embargo, si la hacemos aproximar a cero (es decir, en [−ε, ε]) mediante parábolas

${\frac {x^{2}}{2|\varepsilon |}}+{\frac {|\varepsilon |}{2}}$

y aplicamos la fórmula de Ito, podremos entonces tomar el límite como ε → 0, lo que nos llevará a la fórmula de Tanaka.

Referencias

• Øksendal, B. K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. 6a. ed. Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1 (ejemplo 5.3.2)
• Shiryaev, A. N. (1999). Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory. Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability No. 3. Trad. N. Kruzhilin. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. ISBN 981-02-3605-0.

• Datos: Q3068230