Mitteeukleidiline geomeetria

Mitteeukleidiline geomeetria (inglise keeles non-Euclidean geometry) on sõna otseses mõttes mis tahes geomeetriline süsteem, mis erineb eukleidilisest geomeetriast, kuid traditsiooniliselt kasutatakse seda terminit kitsamas tähenduses – ainult traditsiooniliste mitteeukleidiliste geomeetriliste süsteemide kohta: Lobatševski geomeetria (hüperboolne geomeetria) ja sfäärigeomeetria (või sellega sarnased Riemanni geomeetria ja elliptiline geomeetria).

(1) eukleidiline geomeetria; (2) Riemanni geomeetria; (3) Lobatševski geomeetria

Nagu ka eukleidiline geomeetria, kuuluvad mitteeukleidilised geomeetriad konstantse kõverusega ruumi meetriliste geomeetriate hulka. Nullkõverus vastab eukleidisesle geomeetriale, positiivne kõverus viitab sfäärilisele, Riemanni geomeetriale või elliptilisele geomeetriale ning negatiivne kõverus Lobatševski geomeetriale.

Eestis ilmunud matemaatikaleksikon (2003) defineerib järgmiselt: "Mitteeukleidiline geomeetria on mitteeukleidilise ruumi geomeetria, mille aksiomaatikas eitatakse paralleelide aksioomi".

Meetrika pinna jaoks

Meetrika väljanägemine homogeensetes planimeetriates sõltub valitud (kõverjooneliste) koordinaatide süsteemist. Allpool on esitatud poolgeodeetiliste koordinaatide juhtudeks järgmised valemid:

• Eukleidiline geomeetria: $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$ (Pythagorase teoreem)
• Sfäärigeomeetria: $ds^{2}=dx^{2}+\cos ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}$. Siin R – sfääri raadius
• Lobatševski geomeetria: $ds^{2}=dx^{2}+\operatorname {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}$. Siin R – Lobatševski pinna kõveruse raadius, ch – hüperboolne koosinus