Mittestandardne analüüs

Mittestandardne analüüs on matemaatika haru, mis tegeleb mittearhimeediliste järjestatud korpustega, st järjestatud korpustega, milles ei kehti Archimedese aksioom. Tähtsaim erinevus tavalisest matemaatilisest analüüsist seisneb selles, et mittestandardses analüüsis esinevad ka lõpmata suured ja lõpmata väiksed arvud (reaalarvude asemel kasutatakse hüperreaalarve).

Mudeliteoreetiline käsitus

Tavalises (standardses) analüüsis kasutatavate reaalarvude asemel kasutatakse mittestandardses analüüsis nn hüperrealarve, mis moodustavad reaalarvude korpuse järjestatud laiendi, milles ei kehti Archimedese aksioom: näiteks leiduvad seal nn infitesimaalarvud, st arvud, mis on nullile lähemal kui mis tahes reaalarv, mis erineb nullist.

Mittestandardse analüüsi esimese mudeli töötas välja Abraham Robinson. Selle abil tõestas ta funktsionaalanalüüsi teoreemi, et igal polünomiaalselt kompaktsel operaatoril Hilberti ruumis leidub invariantne alamruum. Selle mudeli konstrueerimisel tuleb kasutada vaba ultrafiltrit üle naturaalarvude hulga $\mathbb {N}$. Selle olemasolu saab küll valikuaksioomi abil näidata, kuid sellist ultrafiltrit ei saa konkreetset konstrueerida.

Mittestandardses analüüsis saab tuletise ja integraali defineerida ilma piirväärtuse mõisteta. Selle poolest on mittestandardne analüüs lähedasem matemaatilise analüüsi rajajate Newtoni ja Leibnizi ideedele. Ent mittestandardses analüüsis kasutatakse "lõpmata väikesi suurusi" ilma teadaolevate vastuoludeta. Mittestandardsel analüüsil on rakendusi ka tõenäosusteoorias ja topoloogias.

Aksiomaatilised käsitused

Hrbáčeki hulgateooria

Karel Hrbáčeki nn Hrbáčeki hulgateooriasse (HST), on mudeliteoreetiline esitus peaaegu täpselt üle võetud. Peale selle on seal kasutusel kolm objektide klassi – fundeeritud hulkade klass $WF$, sisemiste hulkade klass $I$ ja standardsete hulkade klass $S$.

Kirjandus

• Detlef Laugwitz, Curt Schmieden. Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung. –Mathematische Zeitschrift 69 (1958), lk 1–39.
• Abraham Robinson. Nonstandard Analysis, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland: Amsterdam 1966.
• Wilhelmus Anthonius Josephus Luxemburg. A general Theory of Monads. W. A. J. Luxemburg (toim). Applications of Model Theory of Algebra, Analysis and Probability,: Holt, Rinehart & Winston: New York 1969, lk 18–86.
• Dieter Landers, Lothar Rogge. Nichtstandard Analysis, Springer: Berlin 1994, ISBN 3-540-57115-9.
• Vladimir Kanovei, Michael Reeken. Nonstandard Analysis, Axiomatically, Springer: Berlin 2004, ISBN 3-540-22243-X.