Zenbaki negatibo

Matematikan, zenbaki negatibo batek aurkako zenbaki bat adierazten du.^[1] Zenbaki errealen sisteman, zenbaki negatibo bat zero baino txikiagoa dena da. Zenbaki negatiboak galera edo akats baten magnitudea adierazteko erabiltzen dira. Zor bat zenbaki negatiboen bidez adieraz daiteke; kopururen bat gutxituz gero, gehikuntza negatibotzat har daiteke. Kantitate batek, elektroi baten gaineko kargak esaterako, kontrako bi noranzkoetako edozein izan badezake, orduan, horietako bat aukeratu behar da positibotzat edo negatibotzat noranzkoa bereizteko. Zenbaki negatiboak zerotik beherako eskala batean balioak deskribatzeko erabiltzen dira, hala nola, Celsius eta Fahrenheit-en tenperatura-eskalak. Zenbaki negatiboetarako aritmetikaren legeek kontrako zentzuaren ideia aritmetikan islatzen dela bermatzen dute. Adibidez, −(−3) = 3, aurkakoaren aurkakoa jatorrizko balioa baita.

Zenbaki negatiboak, oro har, zenbakiaren aurretik jartzen den minus ikurrarekin idazten dira. Adibidez, −3 kantitatea negatiboa da, hiruko magnitudea duena, eta «minus hiru» edo «hiru negatibo» ahoskatzen da. Kenketa-eragiketa baten eta zenbaki negatibo baten arteko diferentzia zehazten laguntzeko, batzuetan, zeinu negatiboa minus zeinua baino goraxeago jartzen da (goi-indize gisa). Ordea, zero baino handiagoa den zenbaki bati positiboa esaten zaio. Orokorrean, zero zenbakia ez da ez positibotzat ez negatibotzat hartzen (baina ez beti).^[2] Zenbaki baten positibotasuna haren aurrean zeinu positibo bat jarriz nabarmendu daiteke, adibidez, +3. Oro har, zenbaki baten negatibotasuna edo positibotasuna bere zeinuak adierazten du.

Zero ez den zenbaki erreal oro positiboa edo negatiboa da. Zenbaki osoak positiboak edo negatiboak izan daitezke. Bereziki, zenbaki oso ez-negatiboei zenbaki arrunt deritze: 0, 1, 2, 3, 4... (Zenbaki arrunten definizio batzuek zero baztertzen badute ere).

Zero ez denez ez positiboa ez negatiboa, ez-negatibo terminoa erabiltzen da batzuetan zenbaki positibo bati edo zeroari erreferentzia egiteko, eta ez-positibo terminoa zenbaki negatibo bati edo zeroari erreferentzia egiteko. Zero zenbaki neutrala da.

Kontabilitatean, zorrak adierazteko, zenbaki negatiboak erabili ordez, zifrak gorriz adierazten dira edota parentesi artean.

Sarrera

Kenketaren ondorioz

Zenbaki negatiboak zenbaki txikiago bati zenbaki handiago bat kenduz lortzen dira. Adibidez, hiru negatiboa zerori hiru kenduz lortzen da:

0 − 3 = −3.

Gainera, emaitzaren magnitudea bi zenbakien arteko diferentzia da. Adibidez:

5 − 8 = −3

8 − 5 = 3 baita.

Zenbaki-lerroa

Zenbaki negatiboen, zenbaki positiboen eta zeroaren arteko erlazioa zenbaki-lerro baten bidez adierazten da maiz:

Zenbaki-lerroa

Lerro horretan eskuinerago agertzen diren zenbakiak handiagoak dira, eta ezkerrerago agertzen diren zenbakiak, berriz, txikiagoak. Ondorioz, zero agertzen da erdian, zenbaki positiboak eskuinera eta zenbaki negatiboak ezkerrera daudelarik.

Nabarmentzekoa da magnitude handiagoko zenbaki negatibo bat txikiagoa dela. Adibidez, nahiz eta 8 (positiboa) 5 (positiboa) baino handiagoa izan,

8 > 5

8 negatiboa 5 negatiboa baino txikiagoa da:

−8 < −5.

Izan ere, demagun −8 unitate dituzula; 8 unitateko zorra. Gutxiago izango duzu zor horri 10 unitateko kantitate bat gehitzean, −5 unitateri gehitzean baino. Hortik ondorioztatzen da edozein zenbaki negatibo edozein zenbaki positibo baino txikiagoa dela, beraz

−8 < 5 eta −5 < 8.

Zenbaki negatiboen eguneroko erabilerak zientzian

0 °C edo 0 °F baino tenperatura baxuagoak negatiboak dira definizioz.
Ekuatorearekiko hegoalderantz dauden latitudeak eta meridiano nagusiarekiko mendebalderantz dauden longitudeak negatiboak dira halaber.
Lurraren gainazalaren ezaugarri topografikoek altuera negatiboa izan dezakete itsas mailatik behera badaude (adibidez, Itsaso Hilaren edo Heriotzaren Haranaren gainazalaren garaiera edo Thames Tidewayko tunelaren altuera).
Zirkuitu elektrikoak. Bateria bat alderantzizko polaritatean konektatuta dagoenean, aplikatutako tentsioa bere tentsio izendatuaren aurkakoa dela esaten da. Adibidez, alderantziz konektatutako 6 volteko bateria batek -6 volteko tentsioa aplikatzen du.
Ioiek karga elektriko positiboa edo negatiboa dute.
AM transmisio-dorre baten inpedantzia, noranzko anitzeko antena multzoetan erabilia, positiboa edo negatiboa izan daitekeena.

Zenbaki negatiboen aritmetika

Zeinu negatiboak ("-") eragiketa adierazten du ondoko bi kasuetarako: bi eragigairen arteko kenketa (y–z kasuan bezala), eta eragigai bakarreko ukatze-eragiketarako ((–x) adibidez, edo bi aldiz –(–x)). Eragigai bakarreko ukatze-kasu berezi bat jazo daiteke zenbaki positiboekin lanean gaudenean; kasu horretan, emaitza zenbaki negatibo bat da (–5 kasuan bezala).

Orokorrean, "-" ikurraren anbiguotasunak ez du nahasmena sortzen adierazpen aritmetikoetan. Hala ere, zeinu negatiboa eta eragiketa ikurra bata bestearen ondoan agertzen direnean zenbait adierazpen ulertzea zaila izan daitekeenez, irtenbide bezala, "-" zeinua parentesi artean idatz daiteke eragigai bakar bezala erabiltzen ari garenean, horrela ez da eragiketa ikurrarekin nahastuko.

Adibidez, 7 + –5 adierazpena 7 + (–5) bezala idatziz gero argiago geratzen da (nahiz eta formalki gauza bera esan). 7 – 5 kenketa-adierazpena hartzen badugu, eragiketa desberdina izan arren, lortutako emaitza aurrekoaren berdina da.

Batzuetan, lehen hezkuntzan, zenbakiaren aurretik goi-indize moduan plus edo minus ikurra jartzen da zenbaki positiboak eta negatiboak bereizteko. Adibidez,

^-2 + ^-5 = ^-7 da.

Batuketa

Zenbaki positiboak eta negatiboak gehitzearen irudia. Bola handiagoek zenbaki handiagoak adierazten dituzte.

Bi zenbaki negatiboren arteko batuketa bi zenbaki positiboren batuketaren oso antzekoa da. Adibidez:

(−3) + (−5) = −8.

Ideia, bi zor tamaina handiagoko zor bakar batean konbinatzean datza.

Zenbaki positiboak eta negatiboak beraien artean gehitzean, zenbaki negatiboak ken daitezkeen kopuru positibotzat har daitezke. Adibidez:

8 + (−3) = 8 − 3 = 5 eta (−2) + 7 = 7 − 2 = 5.

Lehenengo adibidean, 8ko irabazia 3-ko zor batekin konbinatzen da; beraz, guztira, 5eko irabazia dugu. Zenbaki negatiboaren magnitudea positiboarena baino handiagoa bada, emaitza negatiboa izango da:

(−8) + 3 = 3 − 8 = −5 eta 2 + (−7) = 2 − 7 = −5.

Hemen irabazia zorra baino txikiagoa denez, emaitza garbia zor bat da.

Kenketa

Lehen esan bezala, baliteke negatiboak ez diren bi zenbakiren kenketak erantzun negatiboa ematea:

5 − 8 = −3.

Oro har, zenbaki bati zenbaki positibo bat kentzean edo balio bereko zenbaki negatibo bat batzean lortutako emaitza berdina da. Beraz,

5 − 8 = 5 + (−8) = −3

eta

(−3) − 5 = (−3) + (−5) = −8

Bestalde, zenbaki bati zenbaki negatibo bat kentzearen edo balio bereko zenbaki positibo bat gehitzearen emaitza berdina da. Ideia ondokoa da: zorra galtzea irabazi bat lortzearen baliokidea da. Beraz,

3 − (−5) = 3 + 5 = 8

eta

(−5) − (−8) = (−5) + 8 = 3.

Biderketa

4 zaku daude eta 3 pilota zaku bakoitzean. Beraz, guztira, 12 pilota ditugu (4 × 3 = 12).

Zenbakiak biderkatzean, produktuaren magnitudea bi magnitudeen biderkadura da beti. Produktuaren zeinua arau hauek zehazten dute:

Zenbaki positibo baten eta zenbaki negatibo baten arteko biderkadura negatiboa da.
Bi zenbaki negatiboren arteko biderkadura positiboa da.

Bi arau hauek ondoko taularen bidez laburbildu daitezke:

{\begin{array}{|c|c  c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}

Beraz,

(−2) × 3 = −6

eta

(−2) × (−3) = 6.

Lehenengo adibidearen arrazoia sinplea da; hiru –2 batzean –6 lortzen dugu:

(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6.

Bigarren adibidearen zergatia konplexuagoa da. Berriro ere ideia bera dugu: zorra galtzea irabazi bat lortzearen baliokidea da. Kasu honetan, hiru balioko bi zor galtzea eta sei balioko irabazi bat lortzea gauza bera da:

(−2 zor ) × (−3 unitate zor bakoitza) = +6 unitateko irabazia.

Bi zenbaki negatiboren arteko biderkadura positiboa dela dioen legea ere beharrezkoa da biderketak banaketa-legeari jarrai diezaion. Kasu honetan, badakigu:

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0.

2 × (–3) = –6 denez, (–2) × (–3) produktuak 6 izan behar du nahitaez.

Arau horiek beste arau baliokide batera garamatzate: edozein a × b produkturen zeinua a-ren zeinuaren araberakoa da:

a positiboa bada, a × b biderketaren emaitzaren zeinua b-ren zeinuaren berdina izango da.
a negatiboa bada, a × b biderketaren emaitzaren zeinua b-ren zeinuaren aurkakoa da.

Bi zenbaki negatiboren arteko biderketa zenbaki positiboa izatearen arrazoia zenbaki konplexuen analisian oinarritzen da.

Zatiketa

Zatiketarako zeinu-arauak biderketarako erabiltzen diren berberak dira. Adibidez:

8 ÷ (−2) = −4,

(−8) ÷ 2 = −4,

eta

(−8) ÷ (−2) = 4.

Zenbakitzaileak eta izendatzaileak zeinu bera badute, emaitza positiboa da, eta, zeinu desberdina badute, emaitza negatiboa da.

Ukapena

Zenbaki positibo baten bertsio negatiboa haren deuseztapena bezala hartzen da. Adibidez,–3 zenbakiak 3 zenbakia baliogabetzen du. Zenbaki baten eta bere aurkakoaren batura zero da:

3 + (−3) = 0.

Hau da, zenbaki positibo baten baliogabetzea zenbakiaren aurkako elementua da.

Aljebra erabiliz, printzipio hori identitate aljebraikotzat har dezakegu:

x + (−x) = 0.

Identitate honek edozein x zenbaki positibotarako balio du eta ukapenaren definizioa handitzen badugu, zenbaki erreal guztietarako balioko du (zero zenbakia eta zenbaki negatiboak kontuan hartuz). Zehazki:

0 balioaren aurkakoa 0 da.
Zenbaki negatibo baten aurkakoa magnitude bereko zenbaki positiboa da.

Adibidez, -3 zenbakiaren aurkakoa +3 da. Oro har,

−(−x) = x.

Zenbaki baten balio absolutua magnitude bereko zenbaki ez-negatiboa da. Adibidez, -3 zenbakiaren balio absolutua eta 3 zenbakiaren balio absolutua 3 dira, eta 0ren balio absolutua 0 da.

Zenbaki oso negatiboen eraikuntza formala

Zenbaki arrazionalekin egiten dugun antzeko moduan, N zenbaki arruntak Z zenbaki osoetara heda ditzakegu zenbaki osoak (a, b) zenbaki arrunten bikote ordenatu gisa definituz. Batuketa eta biderketa bikote horietara hedatzeko, arau hauek erabil ditzakegu:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

~ baliokidetasun-erlazio bat definituko dugu bikote horien gainean, ondorengo moduan:

(a, b) ~ (c, d) baldin eta soilik baldin a + d = b + c.

Baliokidetasun-erlazio hori bateragarria da aurretik definitutako batuketarekin eta biderketarekin. Kontuan izan behar da Z eraztun bat dela aurretik esandako batuketarekin eta biderketarekin, eta, hain zuzen, eraztun baten adibide esanguratsuenetakoa dela.

Horrez gain, ordena totala ere defini dezakegu Z-n:

(a, b) ≤ (c, d) baldin eta soilik baldin a + d ≤ b + c.

Bakartasuna

Zenbaki baten negatiboa bakarra da, hurrengo frogapenak erakusten duen bezala.

Izan bitez x zenbaki bat eta y bere negatiboa. Demagun x-k beste negatibo bat duela, y'. Zenbaki errealen sistemaren axioma baten arabera,

x+y^{\prime }=0,\quad {\text{eta}}\quad x+y=0.

Orduan, x + y = x + y'. Batuketarako baliogabetze-legea erabiliz, ondokoa ikus daiteke: y'=y, hau da, y x-ren beste edozein zenbaki negatiboren berdina da eta beraz, x-ren negatiboa bakarra da.

Historia

Denbora luzez, problemen soluzio negatiboak "faltsutzat" hartu ziren. Egipto helenistikoan, K.o. III. mendean, Diophantus greziar matematikariak soluzio negatiboa duen ekuazio bat aipatu zuen hark idatzitako Aritmetika liburuan, zentzugabea zela esanez. Horregatik, geometro grekoak erro positibodun ekuazio koadratikoaren forma guztiak ebazteko gai izan ziren, erro negatiboak zituztenak ez bezala.

Zenbaki negatiboak Matematika-artearen bederatzi kapituluak liburuan agertu ziren lehen aldiz historian. Orain arte dakigunaren arabera, Txinako Han dinastiaren garaikoa da (202 K.a. – 220 K.o.), baina, askoz material zaharragoa izan dezake.^[3] Liu Hui matematikariak (III. mendea) zenbaki negatiboak gehitu eta kentzeko arauak ezarri zituen. Jean-Claude Martzloff historialariaren iritziz, txinatarren filosofia naturalean dualtasunak zuen garrantzia zela eta, txinatarrei errazagoa egin zitzaien zenbaki negatiboen ideia onartzea. Ondorioz, zenbaki negatibodun ekuazio-sistemak ebazteko gai izan ziren.

Bakhshali indiar eskuizkribu zaharrean zenbaki negatiboekin eginiko kalkuluak agertzen ziren, "+" zeinu negatibo gisa erabiliz.^[4] Eskuizkribuaren data zalantzazkoa bada ere, LV Gurjar-ek dio, beranduenez IV. mendekoa dela. Hoernl-ek, aldiz, III. eta IV. mendeen artean kokatzen du, Ayyangar-ek eta Posagai-k VIII. edo IX. mendeetan eta George Gheverghese Joseph-ek, berriz, K.o. 400. urte inguruan, VII. mendean beraduenez.^[5]^[6]^[7]

VII. mende horretan zehar, zenbaki negatiboak erabili ziren Indian zorrak adierazteko. Brahmagupta matematikari indiarrak, Brahma-Sphuta-Siddhanta testuan (K.o. 630 urtean idatzia), zenbaki negatiboen erabilera eztabaidatu zuen gaur egun erabiltzen den formula koadratiko orokorra sortzeko. Ekuazio koadratikoen soluzio negatiboak ere aurkitu zituen, eta zenbaki negatiboak eta zero zituzten eragiketei buruzko arauak eman zituen, hala nola; "Ezerezetik kendutako zorra irabazi bihurtzen da eta ezerezetik kendutako irabazia zor". Zenbaki positiboei "irabazi", zerori "zifra" eta zenbaki negatiboei "zor" deitu zien.^[8]^[9]

IX. mendean, matematikari Islamiarrak, Indiako matematikariek egindako lanetatik ikasita, ohituta zeuden zenbaki negatiboen erabilerara, baina, hala ere, haien ezagutza eta erabilera ez ziren gailendu. Al-Khwarizmik ez zuen zenbaki negatiborik ez koefiziente negatiborik erabili bere Al-jabr wa'l-muqabala lanean (hortik dator "aljebra" hitza).^[10] Baina, berrogeita hamar urte beranduago, Abu Kamil-ek biderketak egiteko zeinuen arauak ezarri zituen, $(a\pm b)(c\pm d)$ , eta al-Karajik bere al-Fakhri-an kopuru negatiboak termino gisa kontatu behar zirela idatzi zuen. X. mendean, Abū al-Wafā' al-Būzjānī -k zorrak zenbaki negatibo gisa jo zituen A Book on What Is Necessary from the Science of Arithmetic for Scribes and Businessmen liburuan .^[11]

XII. menderako, al-Karajiren ondorengoek zeinuen arau orokorrak aitortu zituzten eta zatiketa polinomialak ebazteko erabili. Al-Samaw'al-ek zioenez:

zenbaki negatibo bat —al-nāqiṣ— zenbaki positibo batekin —al-zāʾid— biderkatzean emaitza negatiboa da, eta zenbaki negatibo batekin biderkatzean positiboa. Zenbaki negatibo bati zenbaki negatibo txikiago bat kentzen badiogu, hondarra beraien arteko diferentzia negatiboa da. Diferentziak positiboa izaten jarraitzen du, zenbaki negatibo bati zenbaki negatibo handiago bat kentzen badiogu. Zenbaki positibo bati zenbaki negatibo bat kentzen badiogu, hondarra bi magnitudeen arteko batura positiboa da. Multzo hutsari zenbaki positibo bat kentzen badiogu, —martaba kh’liyya—, hondarra zeinu negatiboko eta magnitude bereko zenbakia da. Aldiz, multzo huts bati zenbaki negatibo bat kentzen badiogu, hondarra magnitude bereko eta zeinu positiboko zenbakia da.

XII. mendean, Indian, Bhskara II.ak ekuazio koadratikoetarako erro negatiboak eman zituen. Ordea, baztertu egin zituen, problemaren testuinguruan desegokiak zirelako, jendeak ez baitzituen erro negatiboak onartzen.

Europako matematikari gehienek zenbaki negatiboen kontzeptua okerra izatearen ideiari eutsi zioten XIX. mendearen erdialdera arte. XVIII. mendean praktika arrunta zen ekuazioetatik eratorritako edozein emaitza negatibori kasurik ez egitea, zentzurik ez zutela pentsatuz.K. o. 1759. urtean, Francis Maseres matematikari ingelesak idatzi zuen zenbaki negatiboek ekuazioen doktrina guztiak iluntzen zituztela eta beren izaeran nabarmenegiak eta sinpleegiak ziren gauzak iluntzen zituztela. Zenbaki negatiboak zentzugabeak zirela ondorioztatu zuen.

Fibonacciri esker, finantza-problemetan zenbaki negatiboak erabiltzen hasi ziren, zor gisa interpreta zitezkeenak (Liber Abaci-ren 13. kapituluan, K.o. 1202) eta ondoren galera gisa (Flos lanean). XV. mendean, Nicolas Chuquet frantsesak zenbaki negatiboak erabili zituen berretzaile^[12] gisa, baina "zenbaki absurdu" bezala jo zituen.^[13] 1544an, Arithmetika Integra Michael Stifel zenbaki negatiboez ere arduratu zen, eta numeri absurdi deitu zien hark ere. 1545ean, Gerolamo Cardanok, bere Ars Magnan lanean, zenbaki negatiboen lehen tratamendu egokia eman zuen Europan. Hala ere, ez zuen zenbaki negatiborik onartu ekuazio kubikoetan, beraz, adibidez, x³ + ax = b eta x³ = ax + b ekauazioak ekuazio ezberdin bezala tratatu behar izan zituen (bi kasuetan, a,b >0 izanik). Guztira, hamahiru ekuazio kubiko mota desberdin aztertu zituen Cardanok, guztiak zenbaki positiboz soilik adieraziak. (Cardano zenbaki konplexuez ere arduratu zen, baina, zenbaki negatiboak baino are gutxiago gustatu zitzaizkion).

Erreferentziak

↑ "Integers are the set of whole numbers and their opposites.", Richard W. Fisher, No-Nonsense Algebra, 2nd Edition, Math Essentials, ISBN 978-0999443330
↑ Zero ez dela ez positiboa ez negatiboa dioen hitzarmena ez da unibertsala. Adibidez, hitzarmen frantsesean zero positiboa eta negatiboa da. Positif eta négatif hitz frantsesek ingelesaren esanahi bera dute: "positiboa edo zero" eta "negatiboa edo zero", hurrenez hurren.
↑ Struik, 32–33 orrialdeak . "In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."
↑ Teresi, Dick. (2002). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas. New York: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8. 65.orrialdea.
↑ Pearce, Ian. The Bakhshali manuscript. .
↑ Takao Hayashi. Helaine Selin ed. Bakhshālī Manuscript. ISBN 9781402045592..
↑ Teresi, Dick. (2002). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas. New York: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8. 65–66 orrialdeak.
↑ Colva M. Roney-Dougal, Matematika hutsetako hizlaria St Andrews unibertsitatean eta hori esan zuen BBC Radio 4 "In Our Time" programan, 2006ko martxoaren 9an.
↑ Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time, ICEE-2002 diskurtsoa Colin Adamson-Macedo emana. "Referring again to Brahmagupta's great work, all the necessary rules for algebra, including the 'rule of signs', were stipulated, but in a form which used the language and imagery of commerce and the market place. Thus 'dhana' (= fortunes) is used to represent positive numbers, whereas 'rina' (= debts) were negative".
↑ Rāshid, Rushdī. (1994). The development of Arabic mathematics : between arithmetic and algebra. ISBN 0-7923-2565-6. PMC 29181926. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).
↑ Mat Rofa Bin Ismail. Helaine Selin ed. Algebra in Islamic Mathematics. ISBN 9781402045592..
↑ Flegg, Graham. Nicolas Chuquet, Renaissance Mathematician: a study with extensive translations of Chuquet's mathematical manuscript completed in 1484. ISBN 9789027718723...
↑ Famous Problems and Their Mathematicians. ISBN 9781563084461...

Bibliografia

Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8.
Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications.

Ikus, gainera

Kanpo estekak

Datuak: Q200227

[1] "Integers are the set of whole numbers and their opposites.", Richard W. Fisher, No-Nonsense Algebra, 2nd Edition, Math Essentials, ISBN 978-0999443330

[2] Zero ez dela ez positiboa ez negatiboa dioen hitzarmena ez da unibertsala. Adibidez, hitzarmen frantsesean zero positiboa eta negatiboa da. Positif eta négatif hitz frantsesek ingelesaren esanahi bera dute: "positiboa edo zero" eta "negatiboa edo zero", hurrenez hurren.

[struik33-3] Struik, 32–33 orrialdeak . "In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."

[4] Teresi, Dick. (2002). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas. New York: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8. 65.orrialdea.

[5] Pearce, Ian. The Bakhshali manuscript. .

[HayashiEncy-6] Takao Hayashi. Helaine Selin ed. Bakhshālī Manuscript. ISBN 9781402045592..

[7] Teresi, Dick. (2002). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas. New York: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8. 65–66 orrialdeak.

[8] Colva M. Roney-Dougal, Matematika hutsetako hizlaria St Andrews unibertsitatean eta hori esan zuen BBC Radio 4 "In Our Time" programan, 2006ko martxoaren 9an.

[9] Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time, ICEE-2002 diskurtsoa Colin Adamson-Macedo emana. "Referring again to Brahmagupta's great work, all the necessary rules for algebra, including the 'rule of signs', were stipulated, but in a form which used the language and imagery of commerce and the market place. Thus 'dhana' (= fortunes) is used to represent positive numbers, whereas 'rina' (= debts) were negative".

[Rashed-10] Rāshid, Rushdī. (1994). The development of Arabic mathematics : between arithmetic and algebra. ISBN 0-7923-2565-6. PMC 29181926. (Noiz kontsultatua: 2021-11-03).

[Ismail-11] Mat Rofa Bin Ismail. Helaine Selin ed. Algebra in Islamic Mathematics. ISBN 9781402045592..

[12] Flegg, Graham. Nicolas Chuquet, Renaissance Mathematician: a study with extensive translations of Chuquet's mathematical manuscript completed in 1484. ISBN 9789027718723...

[13] Famous Problems and Their Mathematicians. ISBN 9781563084461...

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]