Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala

Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala
Jatorria
Egilea(k)	Al-Khwarizmi
Sorrera-urtea	1342 (egutegi gregorianoa)
Argitaratze-data	820
Izenburua	كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة
Ekoizpen lekua	Jakintzaren Etxea
Ezaugarriak
Hizkuntza	arabiera
Argumentu nagusia	matematika

Erredukzio- eta orekatze-bidezko kalkuluari buruzko laburpen-liburua (arabieraz: الكتابالكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) arabieraz idatzitako matematika-liburu bat da.

Liburuaren izenburuko transliterazio asko egin dira besteak beste hauek: Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala, Hisab al-jabr w’al-muqabala, Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala

Al-Khwarizmi pertsiar matematikariak idatzi zuen 820. urtearen inguruan, Bagdaden. Garai hartan Abbastar Kaliferriaren hiriburua zen Bagdad hiria, arabiar zientziaren lehenengo urrezko aroan. Egun erabiltzen dugun algoritmo hitza matematikari haren izenetik dator, bere izen osoa hau zen: Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

Lan horretatik ikasi zituen Europak 300 urte geroago aljebrako oinarriak, eta horren izenburutik datorkio bere izena matematikaren adar honi.

Ekuazioak, $x$ aldagaia, eta kalkulatzeko urratsak

Batzuetan zaila da orduko arabierazko hitzak geure hizkuntzara itzultzea, egileek eman nahi zioten zentzua gal baitezakete. Baina badirudi al-jabr hitzak laburketa, lehengoratzea, osatzea edo antzeko zerbait esan nahi duela, eta ekuazio bateko alde batetik kendu eta bestera pasatzen den gaien aldaketaz diharduela.

Al-Khwarizmi-ren aljebrak lagundu zuen heredentzia bat nola bideratu beharko zen asmatzen. Adbidez, problema honetan:

"Ahmed hil eta 80 herentzia-txanpon utzi ditu. Lagun bati laurden bat utzi dio; alargunari, zortziren bat; gainerakoa hiru seme-alabentzat da. Zenbat dagokio bakoitzari?

Al-Khwarizmiri esker, zenbakiak bakarrik ez, ezezagun bat duen aldagai bat sartuz ekuazio bat planteatzen da:

$80={\frac {80}{8}}+{\frac {80}{4}}+3x$

Aljebran $x$ deritzoguna, balio ezezagun bat adierazten duen $x$ aldagaia ekuazioaren parte da. Eta ekuazioa beteko duen $x$-ren balioa kalkulatzeko zein urrats eman behar ziren azaltzen zen liburuan.

Liburuaren izenburuko mukabala hitzak oreka esan nahi dezake, eta ekuazio bateko gai berdinak ezabatzeko urratsez ari da, adibideko lehenengo urratsean (alde bietan zortzirekin biderkatzea), 4.ean (Alde bietan 240rekin batu) eta 6. urratsetan bezala (alde bietan 24rekin zatitu)

Ekuazioko ezezagunaren kalkulua erredukzio- eta orekatze-bidez

Urratsa	Ekuazioa	Zer egin?
1	$80={\frac {80}{8}}+{\frac {80}{4}}+3x$	Alde bietan zortzirekin biderkatzea
2	$8*80=8*({\frac {80}{8}}+{\frac {80}{4}}+3x)$	Kalkulatzea
3	$640=80+160+24x$	Kalkulatzea
4	$640=240+24x$	Alde bietan 240rekin batu
	$640-240=(240+24x)-240$	Kalkulatzea
5	$400=24x$	Alde biak trukatu
6	$24x=400$	Alde bietan 24rekin zatitu
7	${\frac {24x}{24}}={\frac {400}{24}}$	Kalkulatzea
8	$x={\frac {400}{24}}$	Sinplifikatzea
9	$x={\frac {50}{3}}$	Hori da soluzioa

Sei ekuazio mota

Sei ekuazio mota diferente azrtertzen dira liburuan. Sei atalek osatzen dute liburua:

• Lehenengoan x² = ax ereduko ekuazioak nola ebazten diren aztertzen du, eta x = a ebazpena ematen du, baina, kontuz, ez x = 0 denean.

• Bigarren eta hirugarren ataletan x² = a eta ax = b kasuak aztertzen dira, hurrenez hurren.

• Laugarren, bosgarren eta seigarren ataletan x² + ax = b, x² + b = a eta ax + b = x² kasuak aztertzen ditu.

Interesgarria da azpimarratzea VI. atalean dioen gauza bat: ekuazio bateko x²-ren koefizientea unitatea ez bada, hura eralda daitekeela horrela izan dadin. Gainera, diskriminatzailerik aipatzen ez badu ere, esaten du zenbaki hori zero baino handiagoa edo berdina izateko baldintza betetzen dutenak direla benetako ekuazioak.

Kanpo estekak

• Datuak: Q8369