Jana (geometria)

Jana on geometriassa kahden erillisen pisteen suorasta erottama osa, johon kuuluvat kaikki pisteiden väliset suoran pisteet. Erillisiä pisteitä kutsutaan janan päätepisteiksi ja päätepisteiden välissä olevia pisteitä kutsutaan sisäpisteiksi. Janalla on suoran ominaisuuksia, mutta uutena ominaisuutena sillä on sen äärellinen pituus.

Jana AB on muodostettu suorasta päätepisteiden A ja B avulla. Kaikki päätepisteet, ja niiden väliset sisäpisteet (punainen osa), muodostavat yhdessä janan AB.

Kolmio, jota rajoittavat janat AB, BC ja AC.

Suomen matemaattisessa kielessä jana on varattu suorista erotetuille osille. Jos ympyrän kehältä erottaa kahdella pisteellä kehän osan, kutsutaan sitä kaareksi, ja jos kaksi pistettä erottaa yleisestä käyrästä osan, voidaan tätä kutsua esimerkiksi käyrän osaksi, mutta ei kuitenkaan janaksi.

Esimerkiksi monikulmioiden reuna rajoittuu murtoviivaan, joka muodostuu päätepisteistään toisiinsa kytketyistä janoista eli sivuista. Monikulmion kärjet voidaan yhdistää muihinkin kuin vierekkäisiin kärkiin, jolloin näin syntyviä janoja kutsutaan lävistäjiksi.

Janaa, jonka päätepisteet ovat A ja B ja jota kutsutaan "jana AB", merkitään ${\overline {AB}}$ tai $AB$. Kirjainten järjestys ei merkitse samalla tavalla suuntaa kuin suunnatulla janalla tai vektorilla.

Janat geometriassa

Antiikin kreikkalaisten geometriassa jana oli määritelty melko kevyesti. Eukleides esitti oppikirjassaan Alkeet joukon määritelmiä, joista geometrian luonne olisi pitänyt päätellä. Nykymatematiikka tarvitsee kuitenkin tarkempia määritelmiä.

Pisteet janalla

Pisteet, joiden kaikkien kautta voidaan vetää yksikäsitteinen suora, ovat kollineaarisia. Kaikki suoran pisteet ovat suoralla, joten ne ovat itseisesti kollineaarisia. Pisteet, jotka erottavat janasta osajanoja, jakavat sen murtoviivaksi, jonka janat ovat yhdensuuntaisia alkuperäisen janan kanssa.

Janojen vertailua

Janan pituus määritellään yleisen säännön mukaan suurimmaksi etäisyydeksi kuvion pisteiden välillä. Suurin pituus löytyy janan päätepisteiden välistä, mikä otetaan janan pituuden määritelmäksi. Kahdella suoralla janalla on sama pituus, jos edellä määritellyt pituudet ovat saman suuruiset. Samanpituisuus voidaan demonstroida siirtämällä ja kääntämällä toinen jana täsmälleen toisen päälle. Jos janojen päätepisteet yhtyvät toisiinsa, ovat janat samanpituisia.

Janojen yhdensuuntaisuus voidaan aina todeta viemällä janat suuntansa säilyttäen päällekkäin. Jos ne eripituisina janoina peittävät toisensa niin, että toinen peittää toisen kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset. Yhdensuuntaisuus voidaan tutkia suorien yhdensuuntaisuustestillä. Jatketaan verrattavat janat suorilla, jotka kulkevat janojen päätepisteiden kautta. Jos suorat leikkaavat toisensa, eivät janat ole yhdensuuntaiset. Jos suorat eivät leikkaa toisensa, ovat myös janat yhdensuuntaiset.

Janojen kohtisuoruus voidaan todeta mittaamalla janojen kohtaamiskulmat. Jos kulma on 90° eli suora, ovat janat kohtisuorat. Mikäli janat eivät kohtaa toisensa, sijoitetaan janojen päätepisteiden kautta kulkemaan suorat. Jos suorien kohtaamiskulma on suora, ovat janatkin kohtisuorassa. Janojen välinen kulma mitataan samalla tavalla eli käyttämällä päätepisteiden kautta kulkevia suoria.

Janojen joukko on samalla tasolla eli ovat koplanaarisia, jos löytyy taso, jolla kaikkien janojen pisteet sijaitsevat.

Janat koordinaatistossa

Jana lukusuoralla

Kaikki janan päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan sisäpisteitä. Niitä voidaan asiayhteydestä riippuen kutsua myös jakopisteiksi. Analyyttisessä geometriassa janan sisäpisteen koordinaatti voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöllä:

$x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}$

missä $0<\lambda <1.$ Arvoilla $\lambda =0$ ja $\lambda =1$ saadaan janan päätepisteet.

Jana tasossa

Jos tason pisteet ilmaistaan xy-koordinaatistolla, saadaan tason jokaiselle pisteelle $P$ koordinaattipari $(x,y).$ Janan kaikki pisteet voidaan esittää edelliseen tapaan käyttäen lauseketta kummallekin koordinaatille samanaikaisesti

$x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}$

$y=\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2},$

missä $0\leq \lambda \leq 1.$ Esimerkiksi janan keskipiste sijaitsee yhtä kaukana kummastakin päätepisteestä ja silloin $\lambda ={\tfrac {1}{2}}$ ja

$x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$

$y={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}.$

Jana avaruudessa

Avaruudessa eli tilassa käytetään yleisesti kolmea koordinaattia $(x,y,z)$ pisteiden paikan esittämisessä. Janan pisteet voidaan esittää vastaavasti

$x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}$

$y=\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2}$

$z=\lambda z_{1}+(1-\lambda )z_{2}$

missä $0\leq \lambda \leq 1.$

Lähteet

• Väisälä K.: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 5.5.2016).
• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Arkistoitu 28.9.2013. Viitattu 14.12.2012.
• Weisstein, Eric W.: Interval (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Ray (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.