Lukuteoria

Lukuteoria on matematiikan ala, joka perinteisesti keskittyy luonnollisten lukujen tutkimukseen, esimerkiksi niiden jaollisuuteen ja alkulukuihin. Nykyään lukuteoria voi käsitellä myös laajempia lukujoukkoja. Lukuteoria on yksi vanhimmista matematiikan aloista, sillä sen juuret ulottuvat kauas menneisyyteen aina 4 000 vuoden päähän.

Ulamin spiraali esittää alkulukujen jakautumista, joka on keskeinen kysymys lukuteoriassa.

Carl Friedrich Gaussin on väitetty sanoneen: "Matematiikka on tieteiden kuningatar ja lukuteoria on matematiikan kuningatar." Lukuteorialle on leimallista, että monet sen merkittävät ongelmat ovat helppoja maallikoillekin käsittää, mutta niiden ratkaisut ovat usein hyvin monimutkaisia ja vaativat useiden eri matematiikan alojen tuntemusta.

Lukuteoria voidaan jakaa eri osa-alueisiin, kuten analyyttiseen ja algebralliseen lukuteoriaan.

Historia

Antiikin matemaatikoista merkittäviä lukuteorian tutkijoita ja kehittäjiä olivat Pythagoras, Eukleides ja Diofantos. Antiikin ajan jälkeen lukuteoriaa kehittivät muun muassa Aryabhata Intiassa ja Ibn al-Haytham islamilaisessa maailmassa. Modernin länsimaisen lukuteorian isänä voidaan pitää 1600-luvulla elänyttä ranskalaista lakimiestä ja matemaatikkoa Pierre de Fermat'ta.

Jälkipolville Fermat'n nimi on tullut tunnetuksi kahdesta hänen nimeään kantavasta ongelmasta, Fermat'n pienestä lauseesta ja Fermat'n suuresta lauseesta. Fermat'n suuri lause oli pitkään kenties matematiikan kuuluisin ratkaisematon ongelma, kunnes Andrew Wiles ratkaisi sen 1990-luvulla. Työskentely ongelman parissa synnytti jopa uusia matematiikan lajeja, ja nämä aluevaltaukset ovat monesti olleet merkittävämpiä kuin lause itse.

Fermat'n jälkeen suuria lukuteoreetikkoja ovat olleet muun muassa Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange ja Carl Friedrich Gauss. Nykyäänkin lukuteoria on elävä matematiikan ala. Suomen tunnetuimpia nykyisiä lukuteoreetikkoja on Kaisa Matomäki.

Lukuteorian peruskäsitteitä

Lukuteoriassa jaollisuuden tutkimus on keskeisessä roolissa. Esimerkiksi Eukleideen algoritmilla voidaan löytää kahden kokonaisluvun suurin yhteinen tekijä. Tärkeitä objekteja lukuteoriassa ovat alkuluvut. Suuri kysymys on esimerkiksi lukujen jakaminen alkulukutekijöihin ja alkulukujen löytäminen. Usein käytetty työkalu lukuteoriassa on kongruenssi, joka perustuu jakoyhtälöön.

Ratkaisemattomia lukuteoreettisia ongelmia

Lukuteoriassa on paljon ongelmia, jotka on melko helppo selittää, mutta joille ei ole tähän mennessä löydetty ratkaisuja. Alla esimerkkinä muutamia.

• Goldbachin konjektuuri, joka väittää että mikä tahansa kahta suurempi parillinen luku on kahden alkuluvun summa.
• Väite, että alkulukukaksosia, eli alkulukuja joiden erotus on 2, on ääretön määrä.
• Collatzin konjektuuri, jonka mukaan tietty yksinkertainen iteraatio päätyy ennen pitkää aina arvoon 1.
• Onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja?
• Riemannin hypoteesia pidetään yhtenä matematiikan tärkeimmistä ratkaisemattomista ongelmista. Se liittyy Riemannin zeeta-funktion nollakohtiin, mutta on hieman monimutkaisempi esittää kuin yllä mainitut ongelmat.

Sovellukset

Lukuteoriaa pidettiin pitkään puhtaasti teoreettisena matematiikan osa-alueena, mutta nykyään sen tuottamia tietoja käytetään hyväksi muun muassa kryptografiassa. Monet salausmenetelmät, kuten RSA, perustuvat kokonaislukujen tekijöihinjakoon.

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
• Haukkanen, Pentti: Lukuteoriaa

Aiheesta muualla

• Encyclopaedia Britannica: number theory (englanniksi)