Metrinen avaruus

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Määritelmä

^[1] Metrinen avaruus on pari $(X,d)$ , missä $X$ on joukko ja $d:X\times X\to \mathbb {R}$ kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon $X$ alkioilla $x$ , $y$ ja $z$ toteuttaa ehdot

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (kolmioepäyhtälö),
$d(x,y)=d(y,x)\,\!$ ,
$d(x,x)=0$ , ja
$d(x,y)=0\,\!\implies x=y$ .^[2]

Ehdoista seuraa $d(x,y)\geq 0$ , sillä $0=d(x,x)\leq$ (1) $d(x,y)+d(y,x)=$ (2) $d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y)$ .

Kun $d$ toteuttaa ehdot 1–3, se on pseudometriikka. Täten jokainen metriikka on myös pseudometriikka.

Metristä avaruutta $(X,d)$ kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi $X$ , jos käytössä oleva metriikka $d$ on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden $X$ alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua $d(x,y)$ pisteiden $x$ ja $y$ väliseksi etäisyydeksi.

Esimerkkejä

Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa $X$ voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka (myös {0, 1}-metriikka) määrittelemällä $d(x,y)=0$ jos $x=y$ ja $d(x,y)=1$ muutoin.
Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan $d(x,y)=|x-y|$ .
Jokaisessa joukossa $\mathbb {R} ^{n}$ tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden $P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,$ ja $Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,$ välinen etäisyys on

{\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}

Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.

Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos $(X,||\cdot ||)$ on normiavaruus, niin funktio $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} ,d(x,y)=||x-y||$ määrää metriikan joukkoon X.
Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

Määritelmiä

Kuulat ja pallot

Olkoon $(X,d)$ metrinen avaruus, $x\in X$ ja $r\in \mathbb {R} _{+}=\{y\in \mathbb {R} :y>0\}$ . Tällöin joukkoa

B(x,r)=\{y\in X:d(y,x)<r\}

kutsutaan avaruuden $X$ $x$ -keskiseksi $r$ -säteiseksi avoimeksi kuulaksi.^[2] Toisin sanoen, $B(x,r)$ on niiden pisteiden $y\in X$ joukko, joiden etäisyys pisteestä $x$ on aidosti pienempi kuin $r$ . Joukkoa $B(x,r)$ kutsutaan myös pisteen $x$ kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

{\overline {B}}(x,r)=\{y\in X:d(y,x)\leq r\}

ja

S(x,r)=\{y\in X:d(y,x)=r\},

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden $X$ metriikasta $d$ , ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä $B_{d}(x,r)$ .

Avoin ja suljettu joukko^[3]

Avaruuden $(X,d)$ osajoukko $U\subseteq X$ on avoin, jos jokaisella pisteellä $x\in U$ on kuulaympäristö $B(x,r)$ siten, että $B(x,r)\subseteq U$ . Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään $X$ :n topologian, ns. tavallisen topologian ${\mathcal {T}}_{d}$ ; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden $(X,{\mathcal {T}})$ topologiaa ${\mathcal {T}}$ metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin $X$ :n metriikka $d$ siten, että ${\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{d}$ .^[2]

Joukko $F\subseteq X$ on suljettu, jos sen komplementti $\complement F$ on avoin. Joukko $A\subseteq X$ voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

Rajoitettu joukko

Metrisen avaruuden $(X,d)$ osajoukkoa $A\subseteq X$ sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde $r\in \mathbb {R} _{+}$ , että $d(x,y)<r$ kaikilla $x,y\in A$ . Pienintä tällaista sädettä (pienin yläraja) sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.^[2]

Pisteen etäisyys joukosta

Metrisen avaruuden pisteen $x\in X$ etäisyys joukosta $A\subseteq X$ on lyhin etäisyys pisteestä $x$ johonkin joukon $A$ pisteeseen, toisin sanoen

d(x,A)=\inf\{d(x,y):y\in A\}

.^[4]

Katso myös

Lähteet

Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8

Viitteet

↑ Royden, H.L.: ”7 Metric Spaces”, Real Analysis, s. 139. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3 (englanniksi)
↑ ^a ^b ^c ^d Väisälä, Jussi: Topologia II, s. 35–36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6
↑ Royden, H.L.: ”7.2 Open and Closed Sets”, Real Analysis, s. 141–142. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3 (englanniksi)
↑ Väisälä 2012, 24

Kirjallisuutta

Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7
Kaleva, Osmo: Reaalianalyysi. (opintomoniste 141) Tampere: TTKK, 1992. ISBN 951-721-600-9

Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Metrinen avaruus Wikimedia Commonsissa

[1] Royden, H.L.: ”7 Metric Spaces”, Real Analysis, s. 139. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3 (englanniksi)

[Vaisala-2] Väisälä, Jussi: Topologia II, s. 35–36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6

[3] Royden, H.L.: ”7.2 Open and Closed Sets”, Real Analysis, s. 141–142. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3 (englanniksi)

[Vaisala_2012_I_24-4] Väisälä 2012, 24

[1]

[2]

[3]

[4]