Théorie des invariants

En mathématiques, la théorie des invariants, développée par David Hilbert, est l'étude des invariants des formes algébriques (de façon équivalente, des tenseurs symétriques) pour les actions de groupe lors des transformations linéaires. À la fin du XIX^e siècle, elle est au centre d'un important effort de recherche lorsqu'il apparaît qu'elle pourrait être la clé de voûte en algorithmique (en compétition avec d'autres formulations mathématique de l'invariance de la symétrie). Malgré un travail acharné, elle n'a pas tenu ses promesses, mais a permis de développer plusieurs autres disciplines. Au XXI^e siècle, les groupes symétriques et les fonctions symétriques, l'algèbre commutative, les espaces de modules et les représentations du groupe de Lie en sont les descendants les plus féconds.

Invariants en géométrie classique

La plupart des invariants des géométries classiques (distances, angles, birapport, volume) sont, à une change de paramètre de l'image près, des fonctions polynomiales invariantes pour une groupe classique, et ont des analogue sur des corps commutatifs plus généraux. Par exemple, dans un espace affine euclidien, la fonction qui à deux points associe le carré de leur distance est une fonction polynomiale, invariante par le groupe des isométries. Tout ceci relève la théorie des groupes algébriques classiques.

Liens externes

• Jean Dieudonné, La théorie des invariants au XIX^e siècle, Séminaire Nicolas Bourbaki 1970-71, exposé n° 395
• (en) Hanspeter Kraft et Claudio Procesi, Classical Invariant Theory, a Primer