Théorème d'Albert-Brauer-Hasse-Noether

En théorie algébrique des nombres, le théorème d'Albert–Brauer–Hasse–Noether stipule qu'une algèbre centrale simple sur un corps de nombres K qui se scinde sur chaque complétion K_v est une algèbre de matrices sur K. Le théorème est un exemple de principe local-global en théorie algébrique des nombres et conduit à une description complète des algèbres à division de dimension finie sur les corps de nombres en fonction de leurs invariants locaux. Il a été prouvé indépendamment par Richard Brauer, Helmut Hasse et Emmy Noether et par A. Adrian Albert.

Énoncé du théorème

Soit A une algèbre centrale simple de rang d sur un corps de nombres K. Supposons que pour toute valuation v de K, l'algèbre A soit scindée sur le corps local correspondant K_v :

$A\otimes _{K}K_{v}\simeq M_{d}(K_{v}).$

Alors A est isomorphe à l'algèbre de matrices M_d(K).

Applications

En utilisant la théorie du groupe de Brauer, on montre que deux algèbres centrales simples A et B sur un corps de nombres K sont isomorphes sur K si et seulement si leurs complétions A_v et B_v sont isomorphes sur la complétion K_v pour toute valuation v.

Avec le théorème de Grunwald-Wang, le théorème d'Albert-Brauer-Hasse-Noether implique que toute algèbre centrale simple sur un corps de nombres est cyclique, c'est-à-dire peut être obtenue par une construction explicite à partir d'une extension de corps cyclique L/K.

Articles connexes

• Théorie des corps de classes
• Théorème de la norme de Hasse

Références

•  A. A. Albert et H. Hasse, « A determination of all normal division algebras over an algebraic number field », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 34, n^o 3,‎ 1932, p. 722-726 (DOI 10.1090/s0002-9947-1932-1501659-x , zbMATH 0005.05003)
•  R. Brauer, H. Hasse et E. Noether, « Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren », J. reine angew. Math., vol. 167,‎ 1932, p. 399-404
•  D. D. Fenster et J. Schwermer, « Delicate collaboration: Adrian Albert and Helmut Hasse and the Principal Theorem in Division Algebras », Archive for History of Exact Sciences, vol. 59, n^o 4,‎ 2005, p. 349-379 (DOI 10.1007/s00407-004-0093-6)
•  Richard Pierce, Associative algebras, vol. 88, New York-Berlin, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1982 (ISBN 0-387-90693-2, zbMATH 0497.16001, lire en ligne )
•  I. Reiner, Maximal Orders, vol. 28, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series », 2003 (ISBN 0-19-852673-3, zbMATH 1024.16008), p. 276
•  Peter Roquette, The Brauer–Hasse–Noether theorem in historical perspective, vol. 15, Springer, coll. « Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften », 2005, vi+92 (ISBN 978-3-540-23005-2, DOI 10.1007/b138384, MR 2222818, zbMATH 1060.01009, CiteSeer^x 10.1.1.72.4101, lire en ligne)
• Nancy E. Albert, A³ & His Algebra : How a boy from Chicago's west side became a force in American mathematics, iUniverse, 2005, 366 p. (ISBN 978-0-595-32817-8)