Transformation complexe
La transformation complexe est une méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, × et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps, à condition qu'elles soient linéaires. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans des situations compliquées.
Principe
modifierÀ une grandeur g(t), fonction sinusoïdale du temps d'expression :
- ,
on fait correspondre un nombre complexe : de module G et d'argument φ. En notant j l'unité imaginaire, la notation exponentielle s'écrit
- ,
Remarque[réf. nécessaire] : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :
- , avec : ,
- Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de ω pour les dérivations ou les intégrations.
En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :
Opérations élémentaires
modifier- Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.
- Dérivation
- On dérive le nombre complexe image :
- ,
- on obtient :
- ou encore
- Intégration
- On intègre le nombre complexe image et on obtient :
- , ou encore
Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)
modifierDans un circuit en régime permanent sinusoïdal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction g(t) du type :
- ,
On note un nombre complexe associé à g(t) égal à :
- est égal à la valeur efficace de g,
- est égale à la phase totale de g (incluant le ω t).
Le terme est appelée amplitude complexe[1] de s car elle caractérise le signal tandis que le terme ej ω t est commun à tous les signaux du circuit.
On remarque que .
est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de .
Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoïdal.
La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'impédance complexe.