Ouvert (topologie)

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un ensemble qui ne contient pas sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'une topologie. Il s'agit d'une notion fondamentale par sa transversalité dans presque tous les domaines des mathématiques.

Définitions

Les définitions sont présentées de la plus spécifique à la plus générale.

Intuition

Exemple : Les points (x, y) qui satisfont à l'équation x² + y² = r² sont en bleu. Les points (x, y) qui satisfont à la relation x² + y² < r² sont en rouge. Les points rouges forment un ensemble ouvert. L'union des points bleus et rouges forme un ensemble fermé.

Un ensemble ouvert est un ensemble qui présente la caractéristique suivante : en choisissant comme origine un point quelconque de l'ensemble, tous les points autour de celui-ci sont encore dans l'ensemble à condition de ne pas trop s'éloigner. Cela signifie que ce point est assez loin de tous les points n'appartenant pas à l'ensemble, ou encore, qu'il existe toujours une distance non nulle entre ce point et la frontière de l'ensemble.

Exemple :

• Dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$, l'intervalle $X=]0,1[$, c'est-à-dire l'ensemble des réels $x$ tels quel $0<x<1$, est ouvert. Pour illustrer, choisissons le point $0,99$ (qui appartient à l'ensemble $X$). Tous les points à une distance de $x$ inférieure ou égale à $+0,005$ appartiennent encore à l'ensemble. En effet, tous ces réels $y$ vérifient l'inégalité $0,985\leq y\leq 0,995$, et comme $0<0,985$ et que $0,995<1$, les réels $y$ vérifient $0<y<1$ et appartiennent bien à X. Pour démontrer que X est un ouvert, il faudrait faire le même raisonnement pour tous les points de $X=]0,1[$, en ajustant au besoin la distance.

Contre-exemple :

• Dans l'ensemble des réels, l'intervalle $Y=]0,1]$, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels $y$ tels que $0<y\leq 1$, n'est pas ouvert. En effet, si on choisit le point 1 (qui appartient à l'ensemble $Y$), il n'y a aucun point appartenant à l'ensemble $]0,1]$ même si on s'éloigne très peu de ce point dans le sens positif.

Espaces métriques

Soit $(E,d)$ un espace métrique. Dans cet espace, une boule ouverte de centre $x\in E$ et de rayon $r>0$ est l'ensemble des points de $E$ dont la distance à $x$ est strictement inférieure à $r$ :

$B(x,r)=\{y\in E/\ d(x,y)<r\}$.

Une partie $U$ de cet espace est ouverte si et seulement si pour tout point $x$ de $U$, il existe une boule centrée sur $x$ et incluse dans $S$ :

$U\subset E\ \mathrm {ouvert\ de\ E} \Longleftrightarrow \forall x\in U,\ \exists r>0,\ B(x,r)\subset U$

De façon équivalente, $U$ est ouverte si et seulement si tout point de $U$ possède un voisinage inclus dans $U$.

Cela signifie que $U$ est un ouvert de $E$ si pour chacun de ses points $x$, il contient également les points suffisamment proches de $x$ : on peut entourer chaque point en restant dans l'ouvert, donc aucun point de$U$ n'est au bord de $U$.

Exemples :

Le point x est un point intérieur de S, car il est contenu dans S ainsi que l'intérieur d'un disque qui l'entoure. Le point y n'est pas à l'intérieur de S, car les disques centrés en y ne sont pas entièrement contenus dans S.

• Toute boule ouverte est ouverte. Le nom de « boule ouverte » est donc cohérent avec la définition d'ouvert.
• Dans $\mathbb {R}$, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de $\mathbb {R}$ définis par des inégalités strictes. De plus les ouverts de $\mathbb {R}$ sont les réunions disjointes au plus dénombrables d'intervalles ouverts.

Espaces euclidiens : définition basée sur la notion de point intérieur

Si S est une partie d'un espace euclidien $\mathbb {R} ^{n}$, on dit qu'un point x est un point intérieur de S si il existe une boule ouverte centrée en x qui est contenue dans S.

Un sous-ensemble de points $U$ de l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ est dit ouvert lorsque tout point $p$ élément de $U$ est un point intérieur.

Géométrie algébrique

En géométrie algébrique, les ouverts de la topologie de Zariski sont définis comme les complémentaires des ensembles algébriques qui sont les fermés.

Dans la théorie des schémas, les ouverts d'une topologie de Grothendieck (topologie étale) sont définis comme des morphismes d'une catégorie.

Espaces vectoriels de dimension finie

Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps topologique a une topologie canonique : il s'agit de la topologie la moins fine qui rende continue les formes linéaires : ainsi pour $\mathbb {R} ^{n}$, elle est engendrée par les pavés ouverts : les ouverts sont les réunions de produits d'intervalles ouverts.

Topologie

On définit un espace topologique par la donnée d'un couple $(X,T)$ , où $X$ est un ensemble et $T$ sa topologie, c'est-à-dire un ensemble de parties de $X$ ($T\subset {\mathcal {P}}(X)$) vérifiant les 3 propriétés suivantes:

• $X$ et $\emptyset \in T$
• stable par intersection finie
• stable par réunion quelconque.

Par définition, un ensemble $U$ est un ouvert de $(X,T)$ si $U$ est un élément de $T$ : la topologie est donc l'ensemble des ouverts.

Cette définition est générale, elle montre que le caractère ouvert d'une partie d'un ensemble dépend de la topologie qu'on se donne : n'importe quel ensemble est ouvert, pour une topologie suffisamment fine, alors qu'une partie non triviale n'est pas ouverte pour une topologie trop grossière. La plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.

Propriétés

L'ouverture d'un ensemble dépend de l'espace environnant, c'est-à-dire de l'ensemble dont il est issu.

Exemple :

• L'ensemble $Z=]0,1[\cap \mathbb {Q}$, soit le sous-ensemble des nombres rationnels $z$tels que $0<z<1$, est ouvert si on le considère comme une partie de l'ensemble des nombres rationnels, mais ne l'est pas si on le considère comme une partie de l'ensemble des nombres réels. En effet, dans $\mathbb {R}$, cet ensemble est plein de trous, en ce sens qu'il existe une infinité de nombres irrationnels aussi proche que l'on veut d'un élément z de de $Z$. Autour de z, on trouvera ainsi toujours des éléments qui n'appartiennent pas à Z, même en restant très près de z.

Toute partie $P$ d'un espace topologique $(X,T)$ contient au moins un ouvert (éventuellement vide) ; le plus grand de ces ouverts est appelé l'intérieur de $S$ et peut être construit en considérant l'union de tous les ouverts inclus dans $S$.

Soit deux espaces topologiques $E$ et $F$. Une fonction $f:E\longrightarrow F$ est continue si l'image réciproque de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$. Si c'est l'image directe d'un ouvert qui est ouverte, on parle d'application ouverte.

Cas particuliers

• $\emptyset$ et $E$ sont des ouverts.

Généralisations et autres approches de la notion de topologie

Il existe des définitions généralisées d'espaces topologiques où la notion de topologie n'est pas bâtie sur la notion d'ouvert. Pour ces approches, la propriété pour un ensemble d'être ouvert n'est pas topologiquement intrinsèque, d'autant plus que ces généralisations ne s'appuient pas sur la théorie des ensembles.

Voir aussi

• Voisinage
• Espace topologique
• Fermé
• Topologie
• Application continue