Théorème de Pythagore inversé
Apparence
Le théorème de Pythagore inversé concerne la hauteur DC d'un triangle ABC rectangle en C. Il spécifie que :
Il ne doit pas être confondu avec la réciproque du théorème de Pythagore, qui dit que pour un triangle ABC, si , alors ABC est rectangle en C[1].
Démonstration
[modifier | modifier le code]Le théorème se démontre en remarquant d'abord que l'aire S du triangle ABC peut être exprimée de deux façons[2] :
et On a donc :
D'où
En utilisant le théorème de Pythagore :
d'où :
, cqfd.
Références
[modifier | modifier le code]- Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Editions Publibook, (ISBN 978-2-7483-0556-2, lire en ligne), p. 182
- Francisco del Rey et Éric Dubon, Mathématiques d'excellence - Cours pour lycéens très motivés - Niveau Seconde, Editions Ellipses, (ISBN 978-2-340-05550-6, lire en ligne), p. 203