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Author: youngyangyang04

README.md

@@ -126,6 +126,8 @@
     * [二叉树：搜索树转成累加树](https://mp.weixin.qq.com/s/hZtJh4T5lIGBarY-lZJf6Q)
     * [二叉树：总结篇！（需要掌握的二叉树技能都在这里了）](https://mp.weixin.qq.com/s/-ZJn3jJVdF683ap90yIj4Q)
 
+* 回溯算法 
+    * [关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)
 
 （持续更新中....）
 

problems/0077.组合.md

@@ -1,94 +1,100 @@
 
+> 回溯法的第一道题目，就不简单呀！
+
 # 第77题. 组合
 
 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/ 
 
-给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
-示例:
-
-输入: n = 4, k = 2
-输出:
-[
-  [2,4],
-  [3,4],
-  [2,3],
-  [1,2],
-  [1,3],
-  [1,4],
-]
+给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。   
 
+示例:    
+输入: n = 4, k = 2   
+输出:   
+[   
+  [2,4],   
+  [3,4],   
+  [2,3],   
+  [1,2],   
+  [1,3],  
+  [1,4],  
+]  
 
 # 思路 
 
-这是回溯法的经典题目。
+本题这是回溯法的经典题目。
 
-直觉上当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。
+直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。
 
 代码如下：
 ```
-    int n  = 4;
-    for (int i = 1; i <= n; i++) {
-        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
-            cout << i << " " << j << endl;
-        }
+int n = 4;
+for (int i = 1; i <= n; i++) {
+    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
+        cout << i << " " << j << endl;
     }
+}
 ```
 
 输入：n = 100, k = 3
 那么就三层for循环，代码如下：
 
 ```
+int n = 100;
 for (int i = 1; i <= n; i++) {
     for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
-        for (int u = j + 1; u <=n; n++) {
-
+        for (int u = j + 1; u <= n; n++) {
+            cout << i << " " << j << " " << u << endl;
         }
     }
 }
 ```
 
 **如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息**。
 
-那么回溯法就能解决这个问题了。
+**此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！**
 
-回溯是用来做选择，递归用来做节点层叠嵌套（可以理解是随便开K的for循环），**每一次的递归相当于嵌套一个for循环，可以用于解决多层嵌套循环的问题了**。
+咋整？ 
 
-**回溯问题都可以抽象为一棵树形结构！用树形结构来理解回溯就容易多了**。
+回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。
 
-那么我们把组合问题抽象为如下树形结构：
+那么回溯法怎么暴力搜呢？
 
-<img src='../pics/77.组合.png' width=600> </img></div>
+上面我们说了**要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题**。
 
-可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。
+递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），**每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了**。
+
+此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。
 
-第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取，2，3，4， 得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
+一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了！
 
-**回溯的问题都可以抽象为一个树形结构，在求解组合问题的过程中，n相当于树的宽度，k相当于树的深度**。
+如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。
 
-**每次从集合中选组元素，可选择的范围随着选择的进行而限缩，调整可选择的范围**
+**我们在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中说道回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了**。
 
-如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
+那么我把组合问题抽象为如下树形结构：
 
-用的就是回溯搜索法，**可以发现，每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果**。
+<img src='../pics/77.组合.png' width=600> </img></div>
 
+可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。
 
-**一些同学对递归操作本来就不熟练，递归上面又加上一个for循环，直接晕倒！** 
+第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
 
-## 
+**每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围**。
 
-我再给大家捋顺一下。
+**图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度**。 
 
-这个backtracking（递归函数）是从根节点向树的叶子节点方向遍历，**for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历**，这样就把这棵树全遍历完了，如图所示：
+那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
 
-<img src='../pics/77.组合1.png' width=600> </img></div>
+**图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果**。
 
-backtracking一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回，那么backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
+相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
 
-## 求组合
+在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中我们提到了回溯法三部曲，那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。
 
-掌握了模板之后，我们再来看一下这道求组合的题目。
 
-* 回溯函数返回值以及参数 
+## 回溯法三部曲
+
+* 递归函数的返回值以及参数 
 
 在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
 
@@ -99,14 +105,16 @@ vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
 vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
 ```
 
-其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进回溯函数的参数里，但为了函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量。
+其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。
 
-首先两个参数，集合n里面取k的数，是两个int型的变量。
+函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。
 
-然后还需要一个参数，也为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
+然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
 
 为什么要有这个startIndex呢？ 
 
+**每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex**。
+
 从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。
 
 <img src='../pics/77.组合2.png' width=600> </img></div>
@@ -125,7 +133,7 @@ void backtracking(int n, int k, int startIndex)
 
 什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
 
-就是path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个集合大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
+path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
 
 如图红色部分：
 
@@ -142,26 +150,30 @@ if (path.size() == k) {
 }
 ```
 
+* 单层搜索的过程 
 
-* 回溯搜索的遍历过程 
+回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
 
-在如下如中，我们知道for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
 <img src='../pics/77.组合1.png' width=600> </img></div>
 
 如此我们才遍历完图中的这棵树。
 
-那么for循环每次就是从startIndex开始遍历，然后用path保存每次遍历到的节点。 
+for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。 
 
 代码如下：
 
 ```
-for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
+for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
     path.push_back(i); // 处理节点 
-    backtracking(n, k, i + 1); // 注意下一层搜索要从i+1开始
+    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
     path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
 }
 ```
 
+可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。
+
+backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
+
 关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：
 
 
@@ -177,71 +189,51 @@ private:
         }
         for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
             path.push_back(i); // 处理节点 
-            backtracking(n, k, i + 1);
+            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
             path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
         }
     }
 public:
     vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
-        result.clear();  // 可以不写
-        path.clear(); // 可以不写
+        result.clear(); // 可以不写
+        path.clear();   // 可以不写
         backtracking(n, k, 1);
         return result;
     }
 };
 ```
 
-## 剪枝优化 
-
-在遍历的过程中如下代码 ： 
+还记得我们在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的回溯法模板么？ 
 
+如下：
 ```
-for (int i = startIndex; i <= n; i++) 
-```
-
-这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
-
-来举一个例子，n = 4， k = 4的话，那么从2开始的遍历都没有意义了。
-
-已经选择的元素个数：path.size();
+void backtracking(参数) {
+    if (终止条件) {
+        存放结果;
+        return;
+    }
 
-要选择的元素个数 : k - path.size();
+    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
+        处理节点;
+        backtracking(路径，选择列表); // 递归
+        回溯，撤销处理结果
+    }
+}
+```
 
-在集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size());
+**对比一下本题的代码，是不是发现有点像！** 所以有了这个模板，就有解题的大体方向，不至于毫无头绪。 
 
-因为起始位置是从1开始的，而且代码里是n <= 起始位置，所以 集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size()) + 1;
+# 总结 
 
-所以优化之后是：
+组合问题是回溯法解决的经典问题，我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子，就是n为100，k为50的话，直接想法就需要50层for循环。
 
-```
-for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++)
-```
+从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。
 
-优化后整体代码如下：
+然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程。 
 
-```
-class Solution {
-private:
-    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
-    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
-    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
-        if (path.size() == k) {
-            result.push_back(path);
-            return;
-        }
-        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
-            path.push_back(i); // 处理节点 
-            backtracking(n, k, i + 1);
-            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
-        }
-    }
-public:
+接着用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。
 
-    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
-        backtracking(n, k, 1);
-        return result;
-    }
-};
-```
+**本题其实是可以剪枝优化的，大家可以思考一下，具体如何剪枝我会在下一篇详细讲解，敬请期待！**
 
+**就酱，如果对你有帮助，就帮Carl转发一下吧，让更多的同学发现这里！**
 

problems/0077.组合优化.md

@@ -0,0 +1,59 @@
+
+## 剪枝优化 
+
+我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
+
+在遍历的过程中有如下代码 ： 
+
+```
+for (int i = startIndex; i <= n; i++) 
+```
+
+这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
+
+来举一个例子，n = 4， k = 4的话，那么从2开始的遍历都没有意义了。
+
+所以，可以优化递归中每一层中for循环搜索的起始位置。
+
+优化过程如下：
+
+1. 已经选择的元素个数：path.size();
+
+2. 要选择的元素个数 : k - path.size();
+
+3. 在集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size());
+
+因为起始位置是从1开始的，而且代码里是n <= 起始位置，所以 集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size()) + 1;
+
+所以优化之后是：
+
+```
+for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++)
+```
+
+优化后整体代码如下：
+
+```
+class Solution {
+private:
+    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
+    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
+    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
+        if (path.size() == k) {
+            result.push_back(path);
+            return;
+        }
+        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
+            path.push_back(i); // 处理节点 
+            backtracking(n, k, i + 1);
+            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
+        }
+    }
+public:
+
+    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
+        backtracking(n, k, 1);
+        return result;
+    }
+};
+```

problems/算法模板.md

@@ -222,16 +222,16 @@ int countNodes(TreeNode* root) {
 ```
 
 ## 回溯算法 
-
 ```
-backtracking() {
+void backtracking(参数) {
     if (终止条件) {
         存放结果;
+        return;
     }
 
-    for (选择：选择列表（可以想成树中节点孩子的数量）) {
-        递归，处理节点;
-        backtracking();
+    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
+        处理节点;
+        backtracking(路径，选择列表); // 递归
         回溯，撤销处理结果
     }
 }