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Author: youngyangyang04

pics/39.组合总和.png

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+
+> 看懂很容易，彻底掌握需要下功夫
+
 # 第39题. 组合总和
 
+题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/
+
 给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
 
 candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
 
-**说明：**
+说明：  
 
-所有数字（包括 target）都是正整数。   
-解集不能包含重复的组合。 
+* 所有数字（包括 target）都是正整数。   
+* 解集不能包含重复的组合。 
 
-示例 1：
+示例 1：  
+输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,  
+所求解集为：   
+[   
+  [7],  
+  [2,2,3]  
+]   
 
-输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
-所求解集为：
-[
-  [7],
-  [2,2,3]
-]
-
-示例 2：
-
-输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
-所求解集为：
-[
-  [2,2,2,2],
-  [2,3,3],
-  [3,5]
-]
+示例 2：  
+输入：candidates = [2,3,5], target = 8,    
+所求解集为：   
+[   
+  [2,2,2,2],   
+  [2,3,3],   
+  [3,5]   
+]   
 
 # 思路
 
 题目中的**无限制重复被选取，吓得我赶紧想想 出现0 可咋办**，然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。
 
+本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。
 
-这道题上来可以这么想，看看一个数能不能构成target，一个for循环遍历一遍，再看看两个数能不能构成target，两个for循环遍历，在看看三个数能不能构成target，三个for循环遍历，直到candidates.size()个for循环遍历一遍。
+本题搜索的过程抽象成树形结构如下：
 
-遇到这种问题，就要想到递归的层级嵌套关系就可以解决这种多层for循环的问题，而回溯则帮我们选择每一个合适的集合！
+<img src='../pics/39.组合总和.png' width=600> </img></div>
 
-那么使用回溯的时候，要知道求的是排列，还是组合，排列和组合是不一样的。
+注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！
 
-一些同学可能海分不清，我大概说一下：
+而在[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)和[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w) 中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。
 
-**组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序的。**
+## 回溯三部曲
 
-例如 集合 1，2 和 集合 2，1 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，1，2 和 2，1 就是两个集合了。
+* 递归函数参数 
 
-**求组合，和求排列的回溯写法是不一样的，代码上有小小细节上的改变。**
+这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入）
 
-本题选组过程如下：
+首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。
 
-<img src='../pics/39.组合总和.png' width=600> </img></div>
+此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，我依然用了sum。
+
+**本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？**
+
+我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)。
+
+如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)
+
+**注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面我再讲解排列的时候就重点介绍**。
 
+代码如下：
 
-分析完过程，回溯算法的模板框架如下：
 ```
-backtracking() {
-    if (终止条件) {
-        存放结果;
-    }
+vector<vector<int>> result;
+vector<int> path;
+void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) 
+```
 
-    for (选择：选择列表（可以想成树中节点孩子的数量）) {
-        递归，处理节点;
-        backtracking();
-        回溯，撤销处理结果
-    }
+* 递归终止条件
+
+在如下树形结构中：
+
+<img src='../pics/39.组合总和.png' width=600> </img></div>
+
+从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。
+
+sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下：
+
+```
+if (sum > target) {
+    return;
+}
+if (sum == target) {
+    result.push_back(path);
+    return;
 }
 ```
 
-按照模板不难写出如下代码，但很一些细节，我在注释中标记出来了。
+* 单层搜索的逻辑 
+
+单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。
+
+**注意本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)的一个区别是：本题元素为可重复选取的**。
 
-# C++代码
+如何重复选取呢，看代码，注释部分：
 
 ```
+for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
+    sum += candidates[i];
+    path.push_back(candidates[i]);
+    backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
+    sum -= candidates[i];   // 回溯
+    path.pop_back();        // 回溯
+}
+```
+
+按照[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的模板，不难写出如下C++完整代码：
+
+```
+// 版本一
 class Solution {
 private:
     vector<vector<int>> result;
@@ -85,20 +126,102 @@ private:
             return;
         }
 
-        // 这里i 依然从 startIndex开始，因为求的是组合，如果求的是排列，那么i每次都从0开始
         for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
             sum += candidates[i];
             path.push_back(candidates[i]);
-            backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点在这里，不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
+            backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
+            sum -= candidates[i];
+            path.pop_back();
+        }
+    }
+public:
+    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
+        result.clear();
+        path.clear();
+        backtracking(candidates, target, 0, 0);
+        return result;
+    }
+};
+```
+
+## 剪枝优化 
+
+在这个树形结构中：
+
+<img src='../pics/39.组合总和.png' width=600> </img></div>
+
+以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。
+
+其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。
+
+那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。
+
+**对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历**。
+
+如图：
+
+<img src='../pics/39.组合总和1.png' width=600> </img></div>
+
+
+for循环剪枝代码如下：
+
+```
+for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) 
+```
+
+整体代码如下：（注意注释的部分）
+
+```
+class Solution {
+private:
+    vector<vector<int>> result;
+    vector<int> path;
+    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
+        if (sum > target) {
+            return;
+        }
+        if (sum == target) {
+            result.push_back(path);
+            return;
+        }
+
+        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
+        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
+            sum += candidates[i];
+            path.push_back(candidates[i]);
+            backtracking(candidates, target, sum, i);
             sum -= candidates[i];
             path.pop_back();
 
         }
     }
 public:
     vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
+        result.clear();
+        path.clear();
+        sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
         backtracking(candidates, target, 0, 0);
         return result;
     }
 };
 ```
+
+# 总结 
+
+本题和我们之前讲过的[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)有两点不同：
+
+* 组合没有数量要求 
+* 元素可无限重复选取 
+
+针对这两个问题，我都做了详细的分析。
+
+并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)做了对比。
+
+最后还给出了本题的剪枝优化，这个优化如果是初学者的话并不容易想到。
+
+**在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！**
+
+可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章，就是要不断作对比，分析其差异，然后给出代码解决的方法，这样才能彻底理解题目的本质与难点。
+
+**就酱，如果感觉很给力，就帮Carl宣传一波吧，哈哈**。
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