Espazo euclidiano

O espazo euclidiano é un espazo xeométrico no que se satisfán os axiomas de Euclides da xeometría. A recta real, o plano euclidiano e o espazo tridimensional da xeometría euclidiana son casos especiais de espazos euclidiano de dimensións 1, 2 e 3 respectivamente. O concepto abstracto de espazo euclídeo xeneraliza esas construcións a máis dimensións. Un espazo euclidiano é un espazo vectorial completo dotado dun produto interno (o cal o converte ademais nun espazo normado, un espazo métrico e unha variedade riemanniana ao mesmo tempo).

O termo euclidiano emprégase para distinguir estes espazos dos espazos "curvos" das xeometrías non euclidianas e do espazo da teoría da relatividade de Einstein. Para destacar o feito de que un espazo euclidiano pode posuír n dimensións, adóitase falar de "espazo euclidiano n-dimensional" (denotado $\scriptstyle \mathbb {E} ^{n},E^{n}$ , ou mesmo $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ ).

Introdución

Un espazo euclidiano de dimensión finita é un espazo vectorial normado sobre os números reais de dimensión finita, no que a norma é a asociada ao produto escalar ordinario. Para cada número enteiro non negativo n, o espazo euclidiano n-dimensional represéntase polo símbolo $\mathbb {R} ^{n}$ e é o conxunto de todas as tuplas ordenadas

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

onde cada $x_{i}$ é un número real, xunto coa función distancia entre dous puntos (x₁, ..., x_n) e (y₁, ..., y_n) definida pola fórmula:

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

Esta función distancia é unha xeneralización do teorema de Pitágoras e denomínase distancia euclidiana. O feito de que se definise unha distancia permite definir outros conceptos métricos como o de medida de Lebesgue (que permite á súa vez definir a lonxitude dunha curva (1-volume), as nocións de área (2-volume), volume (3-volume) e cando o espazo ten dimensión superior a 3 n-volume (para n > 3).

Ademais poden definirse ángulos, ao poder falar de proxectar unha lonxitude recta sobre a dirección doutra lonxitude recta non paralela, polo que o ángulo entre dúas rectas r₁ e r₂ con vectores unitarios tanxentes $\mathbf {n} _{1}$ e $\mathbf {n} _{2}$ se pode definir como:

$\theta =\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)$

Estruturas sobre o espazo euclidiano

Os espazos euclidianos e as súas propiedades serviron de base para xerar gran cantidade de conceptos matemáticos relacionados coa xeometría analítica, a topoloxía, a álxebra e o cálculo. Aínda que o espazo euclidiano adoita ser introducido, por razóns didácticas, como espazo vectorial, en realidade sobre el pódense definir moitas máis estruturas. O espazo euclídeo é ademais dun espazo vectorial un caso de:

Un espazo de Hilbert de dimensión finita, co produto escalar ordinario.
Un espazo de Banach de dimensión finita, coa norma inducida polo produto escalar interior.
Un espazo métrico completo, coa distancia inducida pola norma anterior.
Un espazo topolóxico, inducido pola métrica euclídea.
Un grupo de Lie, coa operación de adición.
Unha álxebra de Lie co produto vectorial.

O espazo euclidiano como espazo métrico

Por definición, Eⁿ é un espazo métrico, e é polo tanto tamén un espazo topolóxico; é o exemplo prototípico dunha n-variedade, e é de feito unha n-variedade diferenciable. Para n ≠ 4, calquera n-variedade diferenciable que sexa homeomorfa a Eⁿ é tamén difeomorfa a ela. O feito sorprendente é que isto non é certo tamén para n = 4, o que foi probado por Simon Donaldson no ano 1982; os contraexemplos chámanse 4-espazos exóticos (ou falsos).

O espazo euclidiano como espazo topolóxico

Pódese dicir moito sobre a topoloxía de Eⁿ. Un resultado importante, a invariancia do dominio de Brouwer, é o de que calquera subconxunto de Eⁿ que sexa homeomorfo a un subconxunto aberto de Eⁿ é en si mesmo aberto. Como consecuencia inmediata disto tense que E m non é homeomorfo a Eⁿ se m ≠ n, un resultado intuitivamente "obvio" que con todo non é doado de demostrar.

O espazo euclidiano como espazo vectorial

O n-espazo euclidiano pódese considerar tamén como un espazo vectorial n-dimensional real, de feito un espazo de Hilbert, de maneira natural. O produto escalar, de x = (x₁,...,x_n) e y = (y₁,...,y_n) está dado por:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$

Espazo euclidiano de dimensión infinita

Os espazos euclidianos considerados usualmente ten unha dimensión topolóxica finita. Iso fai que sexan localmente compactos. Con todo, é posíbel concibir estruturas de dimensión infinita que teñan propiedades análogas aos espazos euclidianos, polo que a extensión á dimensión infinita da noción de espazo euclidiano é posíbel cunhas poucas precaucións.^[1] En primeiro lugar pódese considerar o conxunto $\mathbb {R} ^{\omega }$ definido como:

$\mathbb {R} ^{\omega }=\{(x_{1},x_{2},\dots )|\forall i:x_{i}\in \mathbb {R} \}$

É dicir este conxunto é o produto cartesiano dun número infinito numerable de copias de $\mathbb {R}$ . Con todo o conxunto de todas esas tuplas infinitas non ten a estrutura de espazo euclidiano porque non se pode dotar dunha norma euclidiana axeitada. Por exemplo as tuplas:

$\mathbf {x} =(1,1,1,\dots ),{\text{ ó }}\mathbf {y} =(1,2,3,4,\dots )$

non representan vectores cunha suma de compoñentes ao cadrado que sexa un número real finito. Por esta razón considérase o subconxunto:

$E_{\infty }=\{(x_{1},x_{2},\dots )|\forall i:x_{i}\in \mathbb {R} ,\ \lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}<\infty \}\varsubsetneq \mathbb {R} ^{\omega }$

Este espazo vectorial $E_{\infty }$ comparte a maior parte dos espazos euclidianos finitodimensionales e polo tanto pode considerarse un espazo euclidiano infinitodimensional; a principal propiedade é que o espazo euclidiano infinitodimensional a diferenza das súas versións finitodimensionais non é un espazo localmente compacto.

Notas

↑ Infinite-Dimensional Euclidean Spaces.

Véxase tamén

Outros artigos

[1] Infinite-Dimensional Euclidean Spaces.

[1]