Morfismo

En matemáticas, particularmente na teoría de categorías, un morfismo é un mapa que preserva a estrutura dunha estrutura matemática a outra do mesmo tipo. A noción de morfismo nace en gran parte das matemáticas contemporáneas. Na teoría de conxuntos, os morfismos son funcións; en álxebra linearson transformacións lineais; en teoría de grupos son homomorfismos de grupo; en análise e topoloxía son funcións continuas, etc.

Na teoría de categorías, o morfismo é unha idea amplamente semellante: os obxectos matemáticos implicados non precisan ser conxuntos, e as relacións entre eles poden ser algo distinto de mapas, aínda que os morfismos entre os obxectos dunha determinada categoría teñen que comportarse de xeito similar aos mapas que teñen que admitir unha operación asociativa semellante á composición de funcións. Un morfismo na teoría de categorías é unha abstracción dun homomorfismo.

O estudo dos morfismos e das estruturas (chamados "obxectos") sobre os que se definen é fundamental para a teoría das categorías. Gran parte da terminoloxía dos morfismos, así como a intuición subxacente a eles, provén de categorías concretas, onde os obxectos son simplemente conxuntos con algunha estrutura adicional, e os morfismos son funcións de conservación da estrutura. Na teoría de categorías, os morfismos ás veces tamén se denominan frechas.

Definición

Unha categoría C consta de dúas clases, unha de obxectos e outra de morfismos. Hai dous obxectos que están asociados a cada morfismo, a orixe e o destino. Un morfismo f de X a Y é un morfismo con orixe X e destino Y; escríbese comunmente como f : X → Y ou X f→ Y esta última forma é máis adecuada para diagramas conmutativos.

Para moitas categorías comúns, os obxectos son conxuntos (a miúdo con algunha estrutura adicional) e os morfismos son funcións dun obxecto a outro. Polo tanto, a orixe e o destino dun morfismo adoitan chamarse dominio e codominio.

Os morfismos están equipados cunha operación binaria parcial, chamada composición. A composición de dous morfismos f e g defínese precisamente cando o destino de f é a orixe de g, e denotase g ∘ f (ou ás veces simplemente gf ). A composición satisfai dous axiomas :

Identidade

Para cada obxecto X, existe un morfismo id_X : X → X chamado morfismo identidade en X, tal que para cada morfismo f : A → B temos id_B ∘ f = f = f ∘ id_A.

Asociatividade

h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f cando están definidas todas as composicións.

A composición dos morfismos adoita representarse mediante un diagrama conmutativo. Por exemplo,

A colección de todos os morfismos de X a Y denomínase Hom_C(X, Y) ou simplemente Hom(X, Y) e chámase o conxunto hom entre X e Y, aínda que usar a palabra conxunto non é preciso de todo. Unha categoría onde Hom(X, Y) é un conxunto para todos os obxectos X e Y chámase localmente pequena. Como os conxuntos hom poden non ser conxuntos, algunhas persoas prefiren usar o termo "clase hom".

Algúns tipos de morfismos

Monomorfismos e epimorfismos

Un morfismo f : X → Y chámase monomorfismo se f ∘ g₁ = f ∘ g₂ implica g₁ = g₂ para todos os morfismos g₁, g₂ : Z → X. Un monomorfismo pódese chamar mono para abreviar, e podemos usar mónico como adxectivo. Un morfismo f ten inverso pola esquerda ou é un monomorfismo dividido se hai un morfismo g : Y → X tal que g ∘ f = id_X . Así f ∘ g : Y → Y é idempotente; é dicir, (f ∘ g)² = f ∘ (g ∘ f) ∘ g = f ∘ g . A inversa pola esquerda g tamén se denomina retracción de f.

Os morfismos con inversos pola esquerda son sempre monomorfismos, pero o contrario non é certo en xeral; un monomorfismo pode non ter unha inversa pola esquerda. Nas categorías concretas, unha función que ten unha inversa á esquerda é inxectiva. A condición de ser unha inxección é máis forte que a de ser un monomorfismo, pero máis débil que a de ser un monomorfismo dividido.

Dualmente a monomorfismos, un morfismo f : X → Y chámase epimorfismo se g₁ ∘ f = g₂ ∘ f implica g₁ = g₂ para todos os morfismos g₁, g₂ : Y → Z . Un epimorfismo pódese chamar epi ou epic para abreviar. Un morfismo f ten unha inversa dereita ou é un epimorfismo dividido se hai un morfismo g : Y → X tal que f ∘ g = id_Y. A inversa dereita g tamén se chama sección de f. Os morfismos que teñen un inverso dereito son sempre epimorfismos, mais o contrario non é certo en xeral, xa que un epimorfismo pode non ter un inverso dereito.

Se un monomorfismo f se divide coa inversa esquerda g, entón g é un epimorfismo dividido coa inversa dereita f. Nas categorías concretas, unha función que ten unha inversa dereita é sobrexectiva. Así, en categorías concretas, os epimorfismos adoitan ser, pero non sempre, sobrexectivos. A condición de ser unha sobrexección é máis forte que a de ser un epimorfismo, pero máis feble que a de ser un epimorfismo dividido. Na categoría de conxuntos, a afirmación de que toda sobrexección ten unha sección é equivalente ao axioma de escolla.

Un morfismo que é tanto un epimorfismo como un monomorfismo chámase bimorfismo.

Isomorfismos

Un morfismo f : X → Y chámase isomorfismo se existe un morfismo g : Y → X tal que f ∘ g = id_Y e g ∘ f = id_X . Se un morfismo ten inverso pola esquerda e inverso pola dereita, entón os dous inversos son iguais, polo que f é un isomorfismo, e g chámase simplemente inverso de f. Os morfismos inversos, se existen, son únicos. O inverso g tamén é un isomorfismo, con inverso f. Dous obxectos cun isomorfismo entre eles dise que son isomorfos ou equivalentes.

Aínda que todo isomorfismo é un bimorfismo, un bimorfismo non é necesariamente un isomorfismo. Por exemplo, na categoría de aneis conmutativos a inclusión Z → Q é un bimorfismo que non é un isomorfismo. Porén, calquera morfismo que sexa á vez un epimorfismo e un monomorfismo dividido, ou ambos un monomorfismo e un epimorfismo dividido, debe ser un isomorfismo. Unha categoría, por exemplo un conxunto, na que cada bimorfismo é un isomorfismo, coñécese como categoría equilibrada.

Endomorfismos e automorfismos

Un morfismo f : X → X (é dicir, un morfismo con orixe e destino idénticos) é un endomorfismo de X. Un endomorfismo dividido é un endomorfismo idempotente f se f admite unha descomposición f = h ∘ g con g ∘ h = id. En particular, a envolvente de Karoubi dunha categoría divide cada morfismo idempotente.

Un automorfismo é un morfismo que é á vez un endomorfismo e un isomorfismo. En cada categoría, os automorfismos dun obxecto sempre forman un grupo, chamado grupo de automorfismos do obxecto.

Exemplos

• Para as estruturas alxébricas comunmente consideradas en álxebra, como grupos, aneis, módulos, etc., os morfismos adoitan ser os homomorfismos, e as nocións de isomorfismo, automorfismo, endomorfismo, epimorfismo e monomorfismo son as mesmas que as definidas anteriormente. Non obstante, no caso dos aneis, un "epimorfismo" considérase a miúdo como un sinónimo de "sobrexección", aínda que hai epimorfismos de aneis que non son sobrexectivos (por exemplo, cando se incorporan os números enteiros nos números racionais).
• Na categoría de espazos topolóxicos, os morfismos son as funcións continuas e os isomorfismos chámanse homeomorfismos. Hai bixeccións (é dicir, isomorfismos de conxuntos) que non son homeomorfismos.
• Na categoría da variedades suaves, os morfismos son as funcións suaves e os isomorfismos chámanse difeomorfismos.
• Na categoría de categorías pequenas, os morfismos son os funtores.
• Nunha categoría de funtores, os morfismos son as transformacións naturais.

Véxase tamén

Bibliografía

• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7. .
• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.  Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).

Ligazóns externas

• "Morphism". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].