Elementos de Euclides

Os Elementos de Euclides (grego: Στοιχεῖα) é un tratado matemático e xeométrico constituído por trece libros escrito polo matemático grego Euclides en Alexandría contra o ano 300 a.C.

Capa da primeira edición en inglés dos Elementos de Euclides, publicada por Sir Henry Billingsley en 1570.

Engloba unha colección de definicións, postulados (axiomas), proposicións (teoremas e construcións) e probas matemáticas das proposicións. Nestes trece volumes Euclides recompila gran parte do saber matemático da súa época, representado no sistema axiomático coñecido como Postulados de Euclides os cales, dunha forma sinxela e lóxica, deron lugar á xeometría euclidiana.

Parece que Euclides pretendía reunir tres grandes descubrimentos do seu tempo: a teoría das proporcións de Eudoxo (Os Elementos. Libro V), a teoría dos irracionais de Teeteto e a teoría dos cinco sólidos regulares, que ocupaba un lugar importante na cosmoloxía de Platón.

Coa excepción de Sobre a esfera movente de Autolycus de Pitane, os Elementos é o tratado grego sobrevivente máis antigo e contén o tratamento axiomático-dedutivo sobrevivente máis antigo da matemática. É unha obra fundamental na construción da lóxica e da ciencia moderna.

Os Elementos de Euclides é o libro de máis éxito e influente xamais escrito. Imprimiuse por primeira vez en Venecia en 1482, é foi un dos primeiros traballos de matemática en seren impresos despois da invención da imprenta e, despois da Biblia, foi o libro que máis edicións alcanzou (máis de 1.000). Usouse como un texto básico en xeometría en todo o mundo occidental durante 2.000 anos. Ao longo séculos, cando o quadrivium estaba incluído no currículo dos estudantes de todas as universidades, o coñecemento deste texto, ou polo menos de parte del, exixíase a todos os estudantes. Non foi até o século XX cando, aínda o seu contido era ensinado universalmente nos libros didácticos, deixou de ser considerado algo que todas as persoas educadas deberían ler. E aínda hoxe é utilizado por algúns educadores como introdución básica da xeometría.

Historia

Capa dunha tradución latina de Adelardo de Bath dos Elementos de Euclides, ca. 1309–1316; a tradución latina máis antiga sobrevivente.

Proclo, un matemático grego que viviu varios séculos despois de Euclides, escribiu no seu comentario dos Elementos: "Euclides, que recompilou os Elementos, recollendo moitos dos teoremas de Eudoxo, perfeccionando moitos dos de Teeteto e tamén proporcionando demostracións irrefutábeis de cousas que foran só debilmente probadas polos seus predecesores".

A pesar de ser coñecido por figuras como Cicerón, por exemplo, non existe rexistro sobrevivente do texto de que fora traducido para o latín antes de Boecio no século V ou VI. Os árabes coñeceron Os Elementos a través dos bizantinos, aproximadamente en 760; esta versión, de Proclo, foi traducida para o árabe baixo Harum al Rashid contra o ano 800.

A primeira edición impresa apareceu en 1482 (baseada na edición en latín de Giovanni Campano de 1260), que foi usada por Pedro Nunes (1502-1578), que a citou varias veces nos seus escritos.

En 1570, John Dee escribiu un "Prefacio Matemático", amplamente respectado, xunto con numerosas notas e material suplementario á primeira edición inglesa de Henry Billingsley. E en 1576, Rodrigo de Zamorano publicou a primeira edición en castelán.

En 1768, Angelo Brunelli publicou unha tradución en lingua portuguesa dos Libros I, VI, XI e XII, usando a tradución latina de Frederico Comandino incluíndo as notas desta versión, da autoría de Roberto Sinson (1687-1768).

Fragmento dos Elementos encontrado ao final do século XIX entre os Papiros de Oxirrinco, datados en ca. 100 d.C. O diagrama acompaña a Proposición 5 do Libro II dos Elementos. Pola falta de espazos entre as palabras, e por estar estas partidas ao final das liñas, crese que foi escrito por alguén que non era un escriba profesional, posibelmente para uso persoal. Actualmente encóntrase no Museo de Arqueoloxía e Antropoloxía da Universidade de Pensilvania.

Este libro foi moi empregado nas escolas portuguesas, con novas edicións en 1790, 1792, 1824, 1835, 1839, 1852, 1855 e 1862. Pero nesta época xa había outros libros de xeometría, didacticamente máis adecuados para o ensino, notabelmente Éléments de Géométrie de Legendre, que tamén foi traducido para o portugués e moi usado nas escolas brasileiras.

Aínda existen copias do texto grego, algunhas delas na Biblioteca do Vaticano e na Biblioteca Bodleiana, en Oxford. Os manuscritos dispoñíbeis son de calidade variábel, e sempre incompletos. A través dunha análise minuciosa dos orixinais e das traducións, elaboráronse hipóteses sobre o contido dos textos orixinais (que están todos perdidos).

Textos antigos que se refiren aos Elementos e a outras teorías matemáticas da época de Euclides tamén son importantes neste proceso. Tales análises foron realizadas por J. L. Heiberg e Sir Thomas Little Heath nas súas edicións do texto. Tamén son importantes as scholia, ou anotacións ao texto. Estes arrequececementos, que case sempre se distinguían do propio texto (dependendo do manuscrito), gradualmente foron acumulándose ao longo do tempo dependendo do que os opinantes pensaban que merecía ser explicado ou elucidado. Algunhas delas son útiles e contribúen ao texto, e outras non.

As copias máis antigas sobreviventes son un exemplar (datado en 888 d.C.) que formaba parte da biblioteca do bispo Aretas de Cesarea (na Capadocia), e baseábase nunha edición con comentarios e arrequecementos de Teón de Alexandria, un matemático do século IV (pai da famosa filósofa e matemática Hipatia.

En 1808 foi "descuberto" na Biblioteca do Vaticano un exemplar datado nos séculos IX ou X, pero baseado nunha versión anterior á de Teón, o que permitiu interesantes comparacións.

Un texto difícil

A pesar de que Os Elementos son considerados hoxe como un texto elemental sobre xeometría, non foi sempre así. Cóntase que o rei Tolomeo pediu unha vía para a xeometría que fose máis curta do que os Elementos. Euclides respondeu que "non hai camiño real para a xeometría." Máis recentemente, Sir Thomas Little Heath escribiu na introdución da edición de 1932 da editora Everyman's Library:

"A simple verdade é a de que non foi escrito para nenos e nenas en idade escolar, senón para homes crecidos que tiveran o coñecemento e a capacidade de xuízo necesarios para apreciar os asuntos altamente controvertidos que deben ser abordados en calquera tentativa de estabelecer os puntos esenciais da xeometría euclidiana como un sistema lóxico...".

A primeira pasaxe difícil do Libro I chámase de pons asinorum, que en latín significa "ponte de burros" (tradicionalmente, é difícil facer que as burros crucen unha ponte).

Influencia dos Elementos

Os Elementos aínda están considerados como a ópera prima da aplicación da lóxica á matemática. No contexto histórico comprobouse que foi enormemente influente en moitas áreas da ciencia.

Os científicos Nicolao Copérnico, Johannes Kepler, Galileo Galilei e Sir Isaac Newton foron influídos polos Elementos e aplicaron os seus coñecementos á súa obra.

Unha proba dos Elementos: dado un segmento de recta, existe un triángulo equilátero que inclúe o segmento como un dos seus lados. A proba é por construción: un triángulo equilátero ΑΒΓ constrúese deseñando os círculos Δ e Ε centrados nos puntos Α e Β, e tomando unha intersección do círculo como o terceiro vértice do triángulo.

Matemáticos e filósofos como Bertrand Russell, Alfred North Whitehead e Baruch Spinoza intentaron crear os seus propios "elementos" fundamentais das súas respectivas disciplinas, adoptando as estruturas dedutivas axiomatizadas introducidas pola obra de Euclides.

O éxito dos Elementos debeuse primeiramente á presentación lóxica da maior parte do coñecemento matemático dispoñíbel para Euclides. Moito do material non está formado por ideas orixinais del, a pesar de que moitas das probas si o son. O desenvolvemento sistemático do seu traballo, dun pequeno corpo de axiomas de profundos resultados, e a consistencia da súa abordaxe ao longo dos Elementos fixo deste libro o principal texto didáctico durante máis de 2.000 anos.

Os Elementos aínda teñen influencia sobre os libros modernos de xeometría. Alén diso, a súa abordaxe axiomática lóxica e as súas probas rigorosas son recoñecidas como válidas aínda hoxe.

A pesar de que os Elementos so principalmente un libro de xeometría, tamén inclúe resultados que serían clasificados hoxe como teoría dos números. Euclides probabelmente escolleu describir resultados obtidos na teoría dos números en termos de xeometría porque non conseguiu desenvolver unha abordaxe construtiva para a aritmética.

Unha construción usada en calquera das probas de Euclides requiría unha proba que fose verdadeiramente posíbel. Iso evitaba o problema que os pitagóricos encontraron cos irracionais, unha vez que as súas probas falaces xeralmente requirían situacións do tipo "Encontre a maior medida común de..."

Resumo dos Elementos

Principios fundamentais

No primeiro libro, Euclides desenvolve 48 proposicións a partir de 23 definicións (como punto, liña e superficie), 5 postulados e 5 nocións comúns (axiomas). Entre estas proposicións encóntrase unha demostración do teorema de Pitágoras.

As nocións comúns dos Elementos son:

1. Cousas iguais a unha mesma cousa son iguais entre si.
2. Se se engaden iguais a iguais, os todos son iguais.
3. Se se subtraen iguais a iguais, os restos son iguais.
4. As cousas que coinciden unha con outra son iguais entre si.
5. O todo é maior que a parte.

Os postulados dos Elementos son:

1. Unha liña recta pode debuxarse unindo dous puntos calquera.
2. Un segmento de liña recta pódese estender indefinidamente nunha liña recta.
3. Dado un segmento de liña recta, pode debuxarse un círculo con calquera centro e distancia.
4. Todos os ángulos rectos son iguais entre si.
5. Postulado das paralelas. Se unha liña recta corta a outras dúas, de tal maneira que a suma dos dous ángulos interiores do mesmo lado sexa menor que dous rectos, as outras dúas rectas córtanse, ao prolongalas, polo lado no que están os ángulos menores que dous rectos.

Este último postulado pode ser interpretado como:

• Por un punto exterior a unha recta, pódese trazar unha única paralela.

Algunhas definicións:

1. Punto é o que non ten partes nin magnitude ningunha.
2. Liña é o que ten lonxitude e non ten largura.
3. As extremidades da liña son puntos.
4. Liña recta é aquela que está situada igualmente entre os seus extremos.
5. Superficie é o que ten lonxitude e largura.
6. Os extremos da superficie son liñas.

Estes principios básicos reflicten o interese de Euclides pola xeometría construtiva, ao igual que os matemáticos gregos e helenísticos contemporáneos seus.

Contido

O contido dos libros é o seguinte:

• Libros 1 ao 4 tratan sobre xeometría plana.
• Libros 5 ao 10 tratan sobre razóns e proporcións.
• Libros 11 ao 13 tratan sobre xeometría de sólidos.

O postulado das paralelas

Se a suma de dous ángulos internos é igual a 180°, as liñas son paralelas e nunca se intersecarán.

O último dos cinco postulados de Euclides require unha atención especial. O chamado postulado das paralelas sempre pareceu ser menos obvio que os outros.

O propio Euclides usouno pouco ao longo do resto dos Elementos. Moitos xeómetras sospeitaron que podería probarse a partir dos outros postulados, pero todas as tentativas neste sentido fallaron.

A mediados do século XIX, mostrouse que non existía proba así, porque é posíbel construír xeometrías non euclidianas onde o postulado das paralelas é falso, mentres que os outros postulados parecen verdadeiros.

Por esta razón, os matemáticos din que o quinto postulado é independente dos outros.

Dúas alternativas ao postulado das paralelas son: ou un número infinito de paralelas pode trazarse a través dun punto non nunha liña recta, formando unha xeometría hiperbólica (tamén chamada xeometría de Lobachevski), ou non se pode trazar ningunha, como nunha xeometría elíptica (tamén chamada xeometría riemanniana).

Que outras xeometrías podían ser loxicamente consistentes foi un dos descubrimentos máis importantes da matemática, con amplas implicacións para a ciencia e a filosofía. Con razón, a teoría da relatividade xeral de Albert Einstein mostra que o espazo real en que vivimos é non euclidiano.

Críticas

A pesar do seu éxito e da súa aceptación universal durante tanto tempo, os Elementos foron criticados por teren probas e definicións insuficientes (para os padróns da matemática moderna). Por exemplo, na primeira construción do Libro I, Euclides usa unha premisa que non foi nin postulada nin probada: que dous círculos centrados na distancia dos seus raios teñen dous puntos de intersección. Máis tarde, na cuarta construción, usou o movemento de triángulos para probar que se dous lados e dous ángulos son iguais, entón son congruentes; porén, nin postulou ou mesmo nin definiu tal movemento.

O movemento crítico iniciouse probabelmente ao final do século XVII, con John Wallis, continuando un pouco difuso durante o século seguinte, co abade xesuíta Saccheri e os matemáticos Lambert e Gauss. Pero é no século XIX cando a crítica a Euclides asume as súas últimas consecuencias, ben nas xeometrías alternativas propostas por Bolyai, Lobachevski e Riemann, ben na refundamentación da xeometría euclidiana por Moritz Pasch, Richard Dedekind e David Hilbert, que intentaron reformular os axiomas dos Elementos, por exemplo, engadindo un axioma de continuidade e un axioma de congruencia.

O matemático e historiador W. W. Rouse Ball pon as críticas en perspectiva, lembrando que "o feito de que durante dous mil anos Os Elementos foi o libro didáctico padrón da materia implica unha forte indicio de que non é inútil para os seus propósitos."

Apócrifos

Non era raro nos tempos antigos atribuír a autores célebres obras que non foran escritas por eles. É desta forma na que os libros apócrifos XIV e XV dos Elementos foron ás veces incluídos na colección. O ilexítimo Libro XIV foi probabelmente escrito por Hypsicles con base nun tratado de Apolonio. O libro segue á comparación de Euclides de sólidos regulares inscritos en esferas, co principal resultado de que a razón das superficies do dodecaedro e do icosaedro inscritos na mesma esfera é igual á razón dos seus volumes: ${\sqrt {\tfrac {10}{3(5-{\sqrt {5}})}}}$.

O ilexítimo Libro XV foi probabelmente escrito, polo menos en parte, por Isidoro de Mileto (ca. 532), arquitecto da catedral de Santa Sofia en Constantinopla. Este libro cobre entre outros asuntos a conta do número de arestas e ángulos en sólidos regulares e encontra a medida dos ángulos diédricos formados polas caras que se encontran nunha aresta. En tempos antigos non era raro atribuír a autores famosos obras non escritas por eles; así, algunhas versións dos Elementos de Euclides inclúen un décimo cuarto e até un décimo quinto libro, que foron declarados apócrifos por académicos posteriores. O chamado Libro XIV continúa a comparación de Euclides de sólidos regulares inscritos nunha esfera, co principal resultado de que a razón das superficies do dodecaedro e do icosaedro inscritos na mesma esfera é igual á razón dos seus volumes, sendo a razón aquela da aresta dun cubo pola dun icosaedro, ou sexa, ${\sqrt {10/[3(5-{\sqrt {5}})]}}$.

Edicións

O xesuíta italiano Matteo Ricci (esquerda) e o matemático chinés Xu Guangqi (dereita) publicaron a edición chinesa dos Elementos (幾何原本) en 1607.

• 1460, Regiomontanus (incompleta)
• 1533, editio princeps por Simon Grynäus
• 1572, Commandinus
• 1574, Christoph Clavius

Traducións

• 1505, Bartolomeo Zamberti (latín)
• 1543, Venturino Ruffinelli (italiano)
• 1555, Johann Scheubel (alemán)
• 1562, Jacob Kündig (alemán)
• 1564, Pierre Forcadel de Beziers (francés)
• 1570, John Day (inglés)
• 1576, Rodrigo de Zamorano (castelán)
• 1594, Typografia Medicea (edición da tradución árabe de Nasir al-Din al-Tusi)
• 1607, Matteo Ricci e Xu Guangqi (chinés)
• 1660, Isaac Barrow (inglés)

Edicións contemporéneas

• "Elementos" (en castelán) 3 vols., 1996. Gredos ISBN 84-249-1464-3
• "Thirteen Books of Euclid´s Elements" 3 vols., 1954. Dover Science. ISBN 0-486-60088-2
• "Euclid's Elements. All thirteen books in one volume". Green Lion Press. ISBN 1-888009-18-7

Baseado na tradución de Heath.

• "Os Elementos" (primeira tradución completa para o portugués directamente do grego clásico; tradutor: Irineu Bicudo). Editora Unesp. ISBN 978-85-7139-935-8.
• Euclides, Elementos, Prólogo de José Luis Gómez Pardo, tradución ó galego e notas de Ana Gloria Rodríguez Alonso e Celso Rodríguez Fernández. Santiago de Compostela, Universidade de Santiago de Compostela, Clásicos do pensamento universal, 2013.

Véxase tamén

Bibliografía

• Ball, W. W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics. Dover Publications. Reedición. (4 ed.) (Nova York). pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0. 
• Carl Benjamin Boyer (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. (Second Edition ed.). ISBN 0471543977. 
• Gray, Jeremy (1992). "La geometría euclidiana y el postulado de las paralelas". Ideas de espacio. Madrid: Mondadori España, S.A. ISBN 84-397-1727-X. 
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Dover Publications (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.) (Nova York). ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). 

Outros artigos

• Postulados de Euclides
• Xeometría euclidiana

Ligazóns externas

• Elementos de Euclides. (en castelán)
• Elementos de Euclides. Texto completo (en portugués)
• Edición bilíngüe grego-inglés (Usa a edición en grego de J. L. Heidelberg [1883-1885] con tradución para o inglés moderno por Richrd Fitzpatrick. Non inclúe os Libros XIV e XVI nin scholia. Libro en PDF.)
• Texto completo en grego