Analisis matematis

Analisis matematis adalah cabang ilmu matematika yang mencakup teori turunan, integral, ukuran, limit, deret,^[1] dan analisis fungsional. Teori ini biasanya dipelajari dalam konteks bilangan riil dan bilangan kompleks dan fungsi. Analisis ini dikembangkan dari kalkulus, yang mencakup konsep dasar dan teknik analisis. Analisis ini dapat dibedakan dari geometri. Namun, analisis ini dapat diterapkan di seluruh ruang objek matematika yang memiliki definisi kedekatan (ruang topologi) atau jarak tertentu di antara objek (ruang metrik).

Sejarah

Analisis matematis sudah ada sejak awal zaman matematika Yunani kuno. Sebagai contoh, suatu jumlah geometris yang terbatas tersirat dalam paradoks Zeno.^[2] Menyusul matematikawan Yunani seperti Eudoxus and Archimedes menjadikannya lebih eksplisit, tetapi tidak formal, menggunakan konsep limit dan konvergensi saat mereka menggunakan metode penghabis untuk menghitung luas bangun datar dan volume bangun ruang.^[3] Di India, matematikawan abad ke-12 Bhāskara II memberi contoh tentang turunan dan menggunakan konsep seperti yang sekarang dikenal dengan nama Teorema Rolle.

Pada abad ke-14, Madhava dari Sangamagrama mengembangkan deret tak hingga, seperti deret pangkat dan deret taylor sebagai fungsi seperti sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Disamping pengembangan deret taylor dari fungsi trigonometrik, ia juga mengestimasikan besarnya galat yang dihasilkan dengan memotong deret dan memberikan perkiraan yang rasional pada sebuah deret tak tak hingga. Pengikutnya di mazhab astronomi dan matematika Kerala melanjutkan karyanya hingga abad ke-16.

Di Eropa, pada akhir abad ke-17, Newton dan Leibniz secara independen mengembangkan kalkulus infinitesimal, yang berkembang, dengan stimulus kerja terapan yang terus berlanjut sampai abad ke-18, menjadi topik analisis seperti kalkulus variasi, persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial, analisis fourier, dan fungsi pembangkit. Dalam periode ini, teknik kalkulus digunakan untuk memperkirakan masalah diskret melalui pendekatan numerik.

Pada abad ke-18, Euler memperkenalkan konsep fungsi matematika.^[4] Analisis yang sesungguhnya mulai muncul sebagai subjek independen saat Bernard Bolzano memperkenalkan definisi kontinuitas pada tahun 1816,^[5] tetapi hasil kerjanya tidak dikenal luas sampai tahun 1870. Pada 1821, Cauchy mulai menempatkan kalkulus pada landasan yang kuat dengan menolak prinsip aljabar umum yang secara luas digunakan dalam karya sebelumnya, terutama oleh Euler. Sebaliknya, Cauchy merumuskan kalkulus dalam bentuk ide geometris dan infinitesimal. Dengan demikian, apa yang ia definisikan sebagai kontinuitas memerlukan suatu perubahan kecil dalam "x" sesuai dengan perubahan kecil dalam "y". Ia juga memperkenalkan konsep urutan cauchy, dan memulai teori formal analisis kompleks. Poisson, Liouville, Fourier dan lainnya mempelajari persamaan diferensial parsial dan analisis harmonik. Kontribusi para matematikawan ini termasuk juga Weierstrass, mengembangkan pendekatan definisi limit (ε, δ) membuka babak baru bidang analisis matematis modern.

Pada pertengahan abad, Riemann memperkenalkan teorinya mengenai integral. Pada akhir abad ke-19 melihat analisis aritmetika oleh Weierstrass, yang berikir bahwa ada kekeliruan pemahaman mengenai penalaran geometris, dan ia memperkenalkan definisi limit (ε, δ) dari limit. Hal ini mengakibatkan matematikawan khawatir bahwa mereka mengasumsikan adanya kontinum bilangan riil tanpa bukti. Dedekind kemudian menyusun bilangan riil dengan potongan dedekind, di mana bilangan irasional didefinisikan secara formal, yang berfungsi untuk mengisi "celah" di antara bilangan rasional, sehingga menciptakan satu set kontinum bilangan riil yang telah dikembangkan oleh Simon Stevin.

Cabang

Analisis matematis mencakup cabang berikut:

Analisis klasik

Analisis klasik biasanya dipahami sebagai suatu analisis yang tidak menggunakan teknik analisis fungsional, serta menggunakan metode yang lebih tradisional. Studi tentang persamaan diferensial sekarang berbagi dengan bidang lain seperti teori sistem dinamis, meskipun beririsan dengan analisis konvensional masih cukup besar.

Aplikasi teknik analisis

Teknik dari analisis ini juga ditemukan di berbagai area seperti:

Analisis teori bilangan
Analisis kombinasi
Probabilitas kontinu
Entropi diferensial dalam teori informasi
Permainan diferensial
Geometri diferensial
Topologi diferensial

Referensi

^ Edwin Hewitt and Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965
^ Stillwell (2004). "Infinite Series". hlm. 170. Infinite series were present in Greek mathematics, [...] There is no question that Zeno's paradox of the dichotomy (Section 4.1), for example, concerns the decomposition of the number 1 into the infinite series ¹⁄₂ + ¹⁄₂² + ¹⁄₂³ + ¹⁄₂⁴ + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + ¹⁄₄ + ¹⁄₄² + ¹⁄₄³ + ... = ⁴⁄₃. Both these examples are special cases of the result we express as summation of a geometric series Tidak memiliki atau tanpa |title= (bantuan)
^ (Smith, 1958)
^ Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. hlm. 17.
^ *Cooke, Roger (1997). "Beyond the Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. hlm. 379. ISBN 0-471-18082-3. Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)

Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984. Mathematics, its Content, Methods, and Meaning. 2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
Apostol, Tom M. 1974. Mathematical Analysis. 2nd ed. Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
Binmore, K.G. 1980–1981. The foundations of analysis: a straightforward introduction. 2 volumes. Cambridge University Press.
Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981. Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
Nikol'skii, S. M. 2002. "Mathematical analysis". In Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel (editor). Springer-Verlag. ISBN 1-4020-0609-8.
Rombaldi, Jean-Étienne. 2004. Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques. EDP Sciences. ISBN 2-86883-681-X.
Rudin, Walter. 1976. Principles of Mathematical Analysis. McGraw–Hill Publishing Co.; 3rd revised edition (September 1, 1976), ISBN 978-0-07-085613-4.
Smith, David E. 1958. History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.
Whittaker, E. T. and Watson, G. N.. 1927. A Course of Modern Analysis. 4th edition. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.
http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/114/07/html/home/course/course.pdf

Pranala luar

(Inggris) Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
(Inggris) Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)

[1] Edwin Hewitt and Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965

[Stillwell_Infinite_Series_Early_Results-2] Stillwell (2004). "Infinite Series". hlm. 170. Infinite series were present in Greek mathematics, [...] There is no question that Zeno's paradox of the dichotomy (Section 4.1), for example, concerns the decomposition of the number 1 into the infinite series ¹⁄₂ + ¹⁄₂² + ¹⁄₂³ + ¹⁄₂⁴ + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + ¹⁄₄ + ¹⁄₄² + ¹⁄₄³ + ... = ⁴⁄₃. Both these examples are special cases of the result we express as summation of a geometric series Tidak memiliki atau tanpa |title= (bantuan)

[3] (Smith, 1958)

[function-4] Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. hlm. 17.

[5] *Cooke, Roger (1997). "Beyond the Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. hlm. 379. ISBN 0-471-18082-3. Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]