Fungsi cembung

Grafik suatu fungsi cembung pada suatu selang.

Fungsi (kurva hitam) bersifat cembung jika dan hanya jika daerah di atas grafik fungsi tersebut berupa himpunan cembung.

Grafik fungsi bivariat cembung x² + xy + y².

Dalam matematika, fungsi bernilai riil dikatakan cembung jika ruas garis antara sebarang dua titik berbeda pada grafik fungsi, berada di atas atau berada pada grafik fungsi di antara dua titik tersebut. Istilah lain dari fungsi dengan sifat tersebut adalah fungsi konveks dan fungsi cekung ke atas. Dalam kalimat yang lebih mudah, grafik fungsi cembung berbentuk seperti mangkuk $\cup$ (atau garis lurus seperti fungsi linear), sedangkan fungsi cekung berbentuk seperti tutup $\cap$.

Fungsi satu variabel yang terdiferensialkan dua kali bersifat cembung jika dan hanya jika turunan kedua fungsi tersebut bernilai non-negatif di seluruh domainnya. Beberapa contoh fungsi cembung yang umum dikenal antara lain: fungsi linear $f(x)=cx$ (dengan $c$ adalah bilangan riil), fungsi kuadratik $cx^{2}$($c$ adalah bilangan riil non-negatif), dan fungsi ekponensial $ce^{x}$ ($c$ adalah bilangan riil non-negatif).

Fungsi cembung memainkan peran penting dalam banyak bidang matematika. Fungsi ini banyak dipelajari dalam masalah-masalah optimisasi karena memiliki beberapa sifat yang mudah digunakan. Sebagai contoh, fungsi cembung tegas pada himpunan buka hanya memiliki satu minimum. Bahkan di ruang dimensi tak-hingga, dengan beberapa asumsi tambahan yang sesuai, fungsi cembung tetap memenuhi sifat tersebut; dan sebagai akibatnya, mereka menjadi fungsi yang paling dipahami dalam kalkulus variasi. Dalam teori peluang, fungsi cembung yang diterapkan pada nilai harapan dari suatu variabel acak akan terbatas dari atas, oleh nilai harapan dari fungsi cembung dari variabel acak. Sifat tersebut, dikenal sebagai pertidaksamaan Jensen, dapat digunakan untuk menentukan bentuk-bentuk pertidaksamaan lainnya, seperti pertidaksamaan rerata aritmetik–geometrik dan pertidaksamaan Hölder.

Definisi

Misalkan $X$ adalah himpunan cembung dari suatu ruang vektor riil, dan misalkan $f:X\to \mathbb {R}$ adalah sebuah fungsi. Fungsi $f$ dikatakan cembung jika dan hanya jika ada kondisi berikut yang terpenuhi:

1. Untuk sebarang $0\leq t\leq 1$ dan sebarang $x_{1},x_{2}\in X$ berlaku: $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$Ruas kanan merepresentasikan ruas garis lurus yang menghubungkan $\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)$ dan $\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)$ sebagai fungsi dari $t;$ memperbesar $t$ dari $0$ ke $1$ atau memperkecil $t$ dari $1$ ke $0$ akan menghasilkan titik yang melintasi ruas garis ini. Mirip dengan itu, argumen dari fungsi $f$ di ruas kiri merepresentasikan garis lurus antara $x_{1}$dan $x_{2}$ di $X$ (sumbu-$x$ dari grafik $f$). Akibatnya, kondisi ini mengharuskan ruas garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada kurva $f$ berada di atas atas atau berada menyentuh grafik dari fungsi tersebut.
2. Untuk sebarang $0<t<1$ dan sebarang $x_{1},x_{2}\in X$ dengan $x_{1}\neq x_{2}$ berlaku: $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$Perbedaan kondisi ini dengan kondisi sebelumnya adalah kondisi ini tidak menyertakan titik-titik perpotongan antara garis dengan kurva fungsi (yakni saat $t=0$ atau $1,$ atau $x_{1}=x_{2}$). Malahan, titik-titik tersebut tidak perlu dipertimbangkan dalam penentuan kecembungan fungsi, karena (jika mengikuti kondisi pertama) akan menghasilkan bentuk $f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)$ dan $f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)$ yang selalu benar.

Kondisi kedua dari syarat kecembungan fungsi juga dapat diubah untuk menghasilkan definisi kecembungan tegas (strict convexity), dengan mengubah$\,\leq \,$menjadi pertidaksamaan tegas$\,<.$ Secara matematis, fungsi $f$ dikatakan cembung tegas jika dan hanya jika untuk sebarang $0<t<1$ dan $x_{1},x_{2}\in X$ dengan $x_{1}\neq x_{2}$ berlaku hubungan: $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)<tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right).$$Fungsi $f$ dikatakan cekung (atau cekung tegas) jika $-f$ bersifat cembung (atau cembung tegas).

Sifat

Banyak sifat-sifat dari fungsi cembung untuk fungsi banyak variabel memiliki formulasi yang sama dengan versi fungsi satu variabel; walau tidak semuanya.

Fungsi satu variabel

• Misalkan $f$ adalah fungsi riil yang terdefinisi pada suatu selang, dan misalkan$$R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$$menyatakan kemiringan dari garis yang melintasi titik $\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)$ dan $\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)$. Fungsi $f$ cembung jika dan hanya jika $R(x_{1},x_{2})$ monoton tak-menurun di $x_{1},$ untuk setiap $x_{2}$ yang dijaga tetap (dan sebaliknya).
• Fungsi cembung $f$ yang terdefinisi di suatu selang buka $C$ akan bersifat kontinu di $C.$ Fungsi $f$ juga memiliki turunan kiri dan turunan kanan, dan keduanya monoton tak-menurun. Lebih lanjut, turunan kiri bersifat kontinu kiri dan turunan kanan bersifat kontinu kanan. Sebagai akibatnya, $f$ terdiferensial di $C$, kecuali di (paling banyak) terhingga banyaknya titik. Jika $C$ tertutup, $f$ mungkin tidak kontinu di ujung-ujung selang dari $C$ (lihat bagian Contoh di bawah).
• Fungsi terdiferensialkan bersifat cembung pada suatu interval jika dan hanya jika turunan dari fungsi monoton tak-menurun pada interval tersebut. Jika fungsi terdiferensialkan dan cembung, maka fungsi tersebut juga terdiferensialkan secara kontinu.
• Fungsi terdiferensialkan bersifat cembung jika dan hanya jika grafik fungsi tersebut berada di atas semua garis singgung-nya:^:69$$f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y)$$untuk sebarang titik $x$ dan $y$ di selang.
• Fungsi terdiferensialkan dua kali bersifat cembung pada suatu selang, jika dan hanya jika turunan kedua dari fungsi berniali tak negatif pada selang tersebut. Sifat ini memberikan cara praktis menguji kecembungan: secara visual, grafik fungsi terdiferensialkan dua kali yang cembung akan "melengkung ke atas," tanpa berbelok ke arah sebaliknya (titik belok).

Fungsi multivariabel

• Fungsi terdiferensialkan $f$ yang terdefinisi pada himpunan cembung bersifat cembung jika dan hanya jika $$f(x)\geq f(y)+\nabla f(y)^{T}\cdot (x-y)$$berlaku untuk sebarang titik $x$ dan $y$ di himpunan.
• Fungsi terdiferensilakan dua kali bersifat cembung pada suatu himpunan cembung jika dan hanya jika matriks Hesse dari turunan parsial kedua bersifat semidefinit positif pada bagian dalam (interior) himpunan tersebut.
• Sebarang minimum lokal dari fungsi cembung juga merupakan minimum global fungsi tersebut. Fungsi cembung tegas memiliki paling banyak satu maksimum global.

Operasi yang mempertahankan sifat kecembungan

Beberapa operasi berikut mempertahankan sifat kecembungan dari fungsi $f$:

• $-f$ bersifat cekung jika dan hanya jika $f$ cembung.
• Untuk sebarang bilangan riil $r$, fungsi $r+f$ cembung jika dan hanya jika $f$ cembung.
• Jumlah berbobot tak negatif: jika $w_{1},\ldots ,w_{n}\geq 0$ dan $f_{1},\ldots ,f_{n}$ semuanya cembung, maka $w_{1}f_{1}+\cdots +w_{n}f_{n}$ juga cembung. Secara khusus, jumlah dari dua fungsi cembung akan berupa fungsi cembung. Sifat ini dapat diperumum ke penjumlahan tak hingga, integral, maupun nilai harapan (mengasumsikan mereka ada).
• Komposisi fungsi:
  • Jika fungsi $f$ dan $g$ cembung dan $g$ tak menurun pada suatu selang, maka fungsi $h(x)=g(f(x))$ bersifat cembung. Sebagai contoh, jika $f$ cembung, maka begitu pula dengan $e^{f(x)}$, karena $e^{x}$ cembung dan monoton menaik.
  • Jika $f$ cekung, dan $g$ cembung dan tak menaik pada suatu selang, maka fungsi $h(x)=g(f(x))$ bersifat cembung.
  • Kecembungan bersifat invarian dibawah pemetaan afin. Artinya, jika $f$ cembung pada domain $D_{f}\subseteq \mathbf {R} ^{m}$, begitu pula fungsi $g(x)=f(Ax+b)$, dengan $A\in \mathbf {R} ^{m\times n},b\in \mathbf {R} ^{m}$ pada domain $D_{g}\subseteq \mathbf {R} ^{n}.$

Contoh

Fungsi satu variabel

• Fungsi $f(x)=x^{2}$ memiliki $f''(x)=2>0$, sehingga $f$ merupakan fungsi cembung.
• Fungsi nilai mutlak $f(x)=|x|$ bersifat cembung, walau fungsi tidak memiliki turunan di $x=0.$ Fungsi ini tidak cembung tegas. Secara lebih umum, fungsi $g(x)=|x|^{p}$ dengan $p\geq 1$ bersifat cembung.
• Fungsi $f$ dengan domain $[0,\,1]$ yang didefinisikan sebagai $f(0)=f(1)=1,f(x)=0$ untuk $0<x<1$, merupakan fungsi cembung. Fungsi ini kontinu pada selang buka $(0,1),$ tapi tidak kontinu di 0 dan 1.
• Fungsi $x^{3}$ memiliki turunan kedua $6x$, mengakibatkan fungsi ini cembung pada selang $x\geq 0$ dan cekung pada selang $x\leq 0.$
• Contoh fungsi yang monoton menaik tapi tidak cembung, adalah $f(x)={\sqrt {x}}$ dan $g(x)=\log x.$
• Contoh fungsi cembung tapi tidak monoton menaik, adalah $h(x)=x^{2}$ dan $k(x)=-x.$
• Fungsi $f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}$ dengan $f(0)=\infty$, bersifat cembung pada selang $(0,\infty )$ dan pada selang $(-\infty ,0)$, tapi tidak cembung pada selang $(-\infty ,\infty )$ karena singular di $x=0.$

Fungsi multivariabel

• Fungsi LogSumExp, yang juga dikenal sebagai fungsi softmax, adalah fungsi cembung.
• Fungsi $-\log \det(X)$ pada domain matriks definit-positif bersifat cembung.^:74

Pustaka

• Gunawan, Hendra (2016). Pengantar Analisis Real. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 978-602-7861-58-9. 
• Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific. 
• Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
• Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press. 
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
• Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd. 
• Lauritzen, Niels (2013). Undergraduate Convexity. World Scientific Publishing. 
• Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley. 
• Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons. 
• Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press. 
• Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press. 
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc. hlm. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Convex function (of a real variable)", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Convex function (of a complex variable)", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4