Permukaan (topologi)

Permukaan (bahasa Inggris: surface) dalam matematika, khususnya dalam topologi, adalah suatu kelipatan topologi dalam dua dimensi. Contoh paling umum adalah batas suatu benda padat dalam ruang tiga dimensi biasa R³ — misalnya, permukaan suatu bola. Di sisi lain, ada permukaan-permukaan, seperti botol Klein, yang tidak dapat dimasukkan ke dalam ruang Euklidean tiga dimensi tanpa menyertakan singularitas atau potongan ke diri sendiri.

Definisi

Suatu permukaan (secara topologi) adalah suatu ruang topologi yang setiap titiknya mempunyai satu tangga homeomorfik terbuka terhadap sejumlah subset terbuka pada bidang Euklidean E². Tetangga semacam itu, bersama dengan homeomorfisme terkait, dikenal sebagai "peta (koordinat)" (coordinate chart). Melalui peta ini maka tetangga itu mendapatkan koordinat standar pada bidang Euklidean. Koordinat-koordinat ini dikenal sebagai koordinat lokal dan homeomorfisme ini membuat permukaan itu dikatakan sebagai secara lokal Euklidean.

Istilah "permukaan" tanpa tambahan kualifikasi merujuk kepada permukaan tanpa batasan. Terutama, suatu permukaan dengan batasan kosong adalah permukaan dalam arti umum. Suatu permukaan dengan batasan kosong yang kompak dikenal sebagai "permukaan tertutup" (closed surface). Bola dua dimensi, torus dua dimensi, danbidang proyeksi real adalah contoh-contoh dari permukaan tertutup.

Lihat pula

Luas permukaan
Bentuk volume, untuk volume permukaan dalam Eⁿ
Poincaré metric, for metric properties of Riemann surfaces
Area element, the area of a differential element of a surface
Roman surface
Boy's surface
Tetrahemiheksahedron

Pustaka

Dyck, Walther (1888), "Beiträge zur Analysis situs I", Math. Ann., 32: 459–512, doi:10.1007/bf01443580
Gramain, André (1984). Topology of Surfaces. BCS Associates. ISBN 0-914351-01-X. (Original 1969-70 Orsay course notes in French for "Topologie des Surfaces")
A. Champanerkar; et al., Classification of surfaces via Morse Theory (PDF), an exposition of Gramain's notes
Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
Massey, William S. (1991). A Basic Course in Algebraic Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X.
Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R. (May 1999), "Conway's ZIP Proof" (PDF), American Mathematical Monthly, 106 (5), page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof

Pranala luar

The Classification of Surfaces and the Jordan Curve Theorem in Home page of Andrew Ranicki
Math Surfaces Gallery, with 60 ~surfaces and Java Applet for live rotation viewing
Math Surfaces Animation, with JavaScript (Canvas HTML) for tens surfaces rotation viewing
The Classification of Surfaces Diarsipkan 2010-12-10 di Wayback Machine. Lecture Notes by Z.Fiedorowicz
History and Art of Surfaces and their Mathematical Models
2-manifolds at the Manifold Atlas