• Números naturais: N = {1, 2, 3,. . .}, mas existem vários autores considerando N = {0, 1, 2, 3,... more • Números naturais: N = {1, 2, 3,. . .}, mas existem vários autores considerando N = {0, 1, 2, 3,. . .}. Para evitar confusões, é recomendado dizer números positivos, números não negativos, etc. sempre que possível. Os números naturais são associados ao número de elementos do con-junto não vazio, denominado de cardinalidade. O conjunto N possui innitos elementos. Ele tem operação de adição que vale o cancelamento (a + x = a + y =⇒ x = y) e multiplicação comutativa com cancelamento (ab = ba e se a = 0, ax = by =⇒ x = y). Além disso, ele possui um elemento unidade (elemento neutro do produto). Além de ter estas operações boas, também apresenta uma ordem compatível com suas operações (a < b ⇐⇒ b − a > 0) e qualquer dos seus subconjuntos tem o primeiro elemento para esta ordem. • Números inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3,. . .}. No caso do conjunto dos números que pode ser decomposto em positivo, negativo e zero, o sinal + na parte inferior indica o positivo mais o zero (não negativo) e o sinal de menos indica o negativo mais o zero (não positivo). Números inteiros não negativos inclui o elemento nulo 0 (elemento neutro da soma). Com isso, as duas operações fundamentais terão os seus elementos neutros. Observação: O conjunto dos números inteiros positivos: Z * + = {1, 2, 3,. . .} é o conjunto dos números naturais. O símbolo * na parte superior do conjunto dos números é usado para eliminar o zero. No caso geral, é o conjunto (subconjunto do anel) sem o divisor de zero, o que não discutiremos aqui. • Números inteiros: Z = {.. . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,. . .}. É uma extensão dos números naturais na qual operação inversa da adição é permitida. Isto melhora as operações, mas terá pequena alteração em termos de ordem. Agora, nem todos subconjuntos terá o primeiro elemento. No entanto, todo subconjunto limitado inferiormente continuará tendo o menor elemento. • Números racionais: Q = { m n : m, n ∈ Z, n = 0, a b = c d ⇐⇒ ad = bc}. Permite realizar operação inversa da multiplicação. Com isso, tanto a adição como a multiplicação serão inversíveis. O conjunto com propriedade operacional similar ao do Q é denominado de corpo. Ele é o menor corpo contendo os números naturais. Agora, as operações caram "perfeita", mas em termos de ordem, piorou. Agora nem todo subconjunto limitado inferiormente tem o menor elemento. No entanto, Q possui mesmo número de elementos que N, signicando que os elementos de Q ou de seus subconjuntos podem ser indexados usando números naturais. • Números reais: R. O conjunto dos números racionais está "cheio de buracos", de modo que uma curva como no caso de círculo, pode atravessar a reta sem ter intersecções. Por exemplo, x 2 + y 2 = 1 e y = x não interceptam em Q 2 (pois sua intersecção é irracional).
• Números naturais: N = {1, 2, 3,. . .}, mas existem vários autores considerando N = {0, 1, 2, 3,... more • Números naturais: N = {1, 2, 3,. . .}, mas existem vários autores considerando N = {0, 1, 2, 3,. . .}. Para evitar confusões, é recomendado dizer números positivos, números não negativos, etc. sempre que possível. Os números naturais são associados ao número de elementos do con-junto não vazio, denominado de cardinalidade. O conjunto N possui innitos elementos. Ele tem operação de adição que vale o cancelamento (a + x = a + y =⇒ x = y) e multiplicação comutativa com cancelamento (ab = ba e se a = 0, ax = by =⇒ x = y). Além disso, ele possui um elemento unidade (elemento neutro do produto). Além de ter estas operações boas, também apresenta uma ordem compatível com suas operações (a < b ⇐⇒ b − a > 0) e qualquer dos seus subconjuntos tem o primeiro elemento para esta ordem. • Números inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3,. . .}. No caso do conjunto dos números que pode ser decomposto em positivo, negativo e zero, o sinal + na parte inferior indica o positivo mais o zero (não negativo) e o sinal de menos indica o negativo mais o zero (não positivo). Números inteiros não negativos inclui o elemento nulo 0 (elemento neutro da soma). Com isso, as duas operações fundamentais terão os seus elementos neutros. Observação: O conjunto dos números inteiros positivos: Z * + = {1, 2, 3,. . .} é o conjunto dos números naturais. O símbolo * na parte superior do conjunto dos números é usado para eliminar o zero. No caso geral, é o conjunto (subconjunto do anel) sem o divisor de zero, o que não discutiremos aqui. • Números inteiros: Z = {.. . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,. . .}. É uma extensão dos números naturais na qual operação inversa da adição é permitida. Isto melhora as operações, mas terá pequena alteração em termos de ordem. Agora, nem todos subconjuntos terá o primeiro elemento. No entanto, todo subconjunto limitado inferiormente continuará tendo o menor elemento. • Números racionais: Q = { m n : m, n ∈ Z, n = 0, a b = c d ⇐⇒ ad = bc}. Permite realizar operação inversa da multiplicação. Com isso, tanto a adição como a multiplicação serão inversíveis. O conjunto com propriedade operacional similar ao do Q é denominado de corpo. Ele é o menor corpo contendo os números naturais. Agora, as operações caram "perfeita", mas em termos de ordem, piorou. Agora nem todo subconjunto limitado inferiormente tem o menor elemento. No entanto, Q possui mesmo número de elementos que N, signicando que os elementos de Q ou de seus subconjuntos podem ser indexados usando números naturais. • Números reais: R. O conjunto dos números racionais está "cheio de buracos", de modo que uma curva como no caso de círculo, pode atravessar a reta sem ter intersecções. Por exemplo, x 2 + y 2 = 1 e y = x não interceptam em Q 2 (pois sua intersecção é irracional).
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