Derivate e integrali

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Introduzione

I concetti di derivata e integrale hanno contribuito alla nascita del calcolo infinitesimale e dell'analisi matematica e rappresentano una tappa fondamentale per tutte le discipline scientifiche.

Gli argomenti trattati sono: rapporto incrementale, derivate, proprietà e derivate di funzioni elementari, primitive, integrali indefiniti, integrali definiti, proprietà e integrali di funzioni elementari, integrazione per parti e per sostituzione, integrali di funzioni razionali, esercizi svolti su derivate e integrali.

Rapporto incrementale

Data una funzione f(x) definiamo il suo rapporto incrementale di incremento h, nel punto x, la seguente funzione



Osserviamo che questa funzione può anche essere scritta come



dove xP, xP’ e yP, yP’ sono, rispettivamente, le ascisse e le ordinate dei punti



e



infatti



Quindi la funzione rh(x) rappresenta geometricamente il coefficiente angolare della retta secante i punti P e P'.

Derivata

Si definisce derivata della funzione f(x), nel punto x0, se esiste finito, il seguente limite del rapporto incrementale



che può anche essere scritto, in modo del tutto analogo come



In modo simile, definiamo funzione derivata della funzione f(x) nel generico punto di ascissa x, il seguente limite (se esiste finito)



La funzione derivata si può scrivere con una delle seguenti notazioni



Possiamo interpretare geometricamente la derivata della funzione f(x) nel punto di ascissa x0 come il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.

Linearità

La derivata soddisfa le due condizioni per la linearità. Valgono infatti le seguenti relazioni



cioè la derivata della somma di due funzioni derivabili f(x) e g(x) è data dalla somma delle loro derivate, e