Distributività: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], e in particolare nell'[[algebra]], la '''distributività''' (o '''proprietà distributiva''') è una proprietà delle [[operazione binaria|operazioni binarie]] che generalizza la ben nota '''legge distributiva''' valida per
: 4 · (2 + 3) = (4 · 2) + (4 · 3)▼
Dato un (insieme) ''S'' e due [[operazione binaria|operazioni binarie]] * e + su ''S'', diciamo che:
:<math>x*(y + z) = (x*y) + (x*z)\qquad\mbox{per ogni }x,y,z\in S.</math>
* l'operazione * è ''distributiva a
:<math>(y + z)*x = (y*x) + (z*x)\qquad\mbox{per ogni }x,y,z\in S.</math>
* l'operazione * è ''distributiva'' rispetto all'operazione + se è
Si osservi che quando * è [[commutatività|commutativa]], allora le tre condizioni precedenti sono [[equivalenza logica|logicamente equivalenti]].
== Esempi ==
#
# La moltiplicazione dei [[numero ordinale (matematica)|numeri ordinali]], al contrario, è solo distributiva a sinistra, e non distributiva a destra.▼
#:Nel membro sinistro dell'espressione precedente, 4 moltiplica la somma di 2 e 3; nel membro destro, moltiplica il 2 e il 3 separatamente e i risultati sono successivamente sommati. Poiché questo porta allo stesso risultato (20) diciamo che la moltiplicazione per 4 si distribuisce sull'addizione di 2 e 3. Dal momento che si può utilizzare qualsiasi numero reale al posto di 4, 2, e 3, e ottenere ancora un'uguaglianza, si ha che la [[moltiplicazione]] di numeri reali è distributiva rispetto all'[[addizione]] di numeri reali.
▲# La moltiplicazione dei [[numero ordinale (
# Il [[prodotto vettoriale]] è distributivo rispetto all'addizione di due vettori, benché non sia commutativo.
# La [[moltiplicazione di matrici]] è distributiva rispetto alla [[somma di matrici]], anche se non è commutativa.
# L'[[unione (insiemistica)|unione]] di [[insieme|insiemi]] è distributiva rispetto all'[[intersezione (insiemistica)|intersezione]], e l'intersezione è distributiva rispetto all'unione. Inoltre l'intersezione è distributiva rispetto alla [[differenza simmetrica]].
# La [[disgiunzione logica]] ("or") è distributiva rispetto alla [[congiunzione logica]] ("and"), e la congiunzione è distributiva rispetto alla disgiunzione. Inoltre, la congiunzione è distributiva rispetto alla [[disgiunzione esclusiva]] ("xor").
# Per i [[numero reale|numeri reali]] (o per ogni [[insieme totalmente ordinato]]), l'operazione di massimo è distributiva rispetto all'operazione di minimo, e viceversa: max(''a'',min(''b'',''c'')) = min(max(''a'',''b''), max(''a'',''c'')) e min(''a'',max(''b'',''c'')) = max(min(''a'',''b''), min(''a'',''c'')).
# Per gli [[numero intero|interi]], il [[massimo comune divisore]] è distributivo rispetto al [[minimo comune multiplo]], e viceversa: M.C.D.(''a'',m.c.m.(''b'',''c'')) = m.c.m.(M.C.D.(''a'',''b''),M.C.D.(''a'',''c'')) e m.c.m.(''a'',M.C.D.(''b'',''c'')) = M.C.D.(m.c.m.(''a'',''b''), m.c.m.(''a'',''c'')).
# Per i numeri reali, l'addizione è distributiva rispetto all'operazione di massimo, e anche rispetto all'operazione di minimo: ''a'' + max(''b'',''c'') = max(''a''+''b'',''a''+''c'') e ''a'' + min(''b'',''c'') = min(''a''+''b'',''a''+''c'').
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Un anello ha due operazioni binarie (chiamate comunemente "+" e "*"), e uno dei requisiti per un anello è che * sia distributiva rispetto a +.
Molti tipi di numeri (esempio 1) e di matrici (esempio
Un [[Reticolo (matematica)|reticolo]] è un altro tipo di [[struttura algebrica]] con due operazioni binarie,
Se una delle due operazioni (diciamo
Gli esempi 4 e 5 sono [[algebra booleana|algebre booleane]], che possono essere interpretate come un tipo particolare di anello (un [[anello booleano]]) oppure come un tipo particolare di reticolo distributivo (un [[reticolo booleano]]). Ciascuna interpretazione è responsabile di differenti leggi distributive nell'algebra booleana. Gli esempi 6 e 7 sono reticoli distributivi che non sono algebre booleane.
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Gli anelli e i reticoli distributivi sono entrambi tipi speciali di [[semianello|semianelli]], una generalizzazione degli anelli.
I numeri nell'esempio 1 che non formano anelli formano comunque semianelli.
I [[
== Generalizzazioni della distributività ==
In molte aree della matematica si considerano leggi distributive generalizzate. Questo può coinvolgere l'indebolimento delle condizioni della definizione oppure l'estensione a operazioni infinitarie. Soprattutto nella [[teoria degli ordini]], si trovano numerose importanti varianti della distributività, alcune delle quali includono operazioni infinitarie, altre sono definite in presenza di una ''sola'' operazione binaria. Dettagli sulle definizioni e sulle loro relazioni si trovano nell'articolo [[distributività (teoria degli ordini)]]. È inclusa anche la nozione di [[reticolo (matematica)|reticolo
In presenza di una [[relazione d'ordine]], si può indebolire la condizione precedente sostituendo
== Voci correlate ==
* [[Associatività]]
* [[Commutatività]]
== Altri progetti ==
{{Interprogetto|etichetta=distributività|wikt}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
*{{en}} [http://www.algebra.com/algebra/homework/Distributive-property/proof-of-distributive-property.lesson Dimostrazione della proprietà distributiva per gli interi, con animazione]▼
* {{
▲* {{
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Nozioni algebriche generali]]▼
[[Categoria:Algebra elementare]]
[[Categoria:Logica proposizionale]]
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