Prodotto notevole

In matematica, un prodotto notevole è un'identità che compare spesso nel calcolo letterale, in particolare per effettuare il prodotto di polinomi di forme particolari. I prodotti notevoli consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all'applicazione diretta delle regole del calcolo letterale (come la moltiplicazione di due polinomi). Inoltre, riconoscere un prodotto notevole è utile per la scomposizione in fattori dei polinomi o di altre espressioni algebriche.

Quadrato di binomio e di trinomio

Il quadrato di un binomio generico $(x+y)$ può essere espresso come:

$(x+y)^{2}=(x+y)(x+y)=x^{2}+xy+y^{2}+xy=x^{2}+2xy+y^{2}\,\!$

Se il binomio presenta una sottrazione allora il suo quadrato risulterà:

$(x-y)^{2}=(x-y)(x-y)=x^{2}-xy-xy+y^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,\!$

Le due formule si possono unificare nel seguente modo:

$(x\pm y)^{2}=x^{2}\pm 2xy+y^{2}\,\!$

Dimostrazione grafica della formula per calcolare il quadrato di un binomio

In generale si può dire quindi che:

Il quadrato di un binomio è uguale alla somma tra il quadrato del primo termine, il doppio del prodotto tra i due termini ed il quadrato del secondo termine

La figura rappresenta un quadrato il cui lato è la somma dei due valori $a$ e $b$. La sua area vale dunque $(a+b)^{2}$. Ma questa si ottiene anche attraverso l'addizione dell'area del quadrato giallo ($a^{2}$), delle aree dei due rettangoli azzurri ($ab$ per ciascuno) e dell'area del quadrato viola ($b^{2}$).

Il quadrato di un trinomio può essere espresso come:

${\begin{aligned}(x+y+z)^{2}&=(x+y+z)(x+y+z)\\&=x^{2}+xy+xz+xy+y^{2}+yz+xz+yz+z^{2}\\&=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz\end{aligned}}\,\!$

Le formule di sopra si possono facilmente generalizzare al caso di polinomi composti da più di due monomi.

Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini più il doppio prodotto di ogni termine per ciascuno di quelli che lo seguono.

Cubo di un binomio

Il cubo di un binomio può essere espresso come:

$(x+y)^{3}=(x+y)^{2}(x+y)=x^{3}+x^{2}y+2xy^{2}+2x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!$

e se il binomio presenta una sottrazione:

$(x-y)^{3}=(x-y)^{2}(x-y)=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,\!$

Le due formule si possono unificare nel seguente modo:

$(x\pm y)^{3}=x^{3}\pm 3x^{2}y+3xy^{2}\pm y^{3}\,\!$

Quindi in generale si può dire:

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del quadrato del secondo per il primo, più il cubo del secondo termine.

La scrittura di queste formule rispetto ai termini cubici in a e in b, è nota come formula di Waring ed è necessaria nella soluzione di sistemi simmetrici, nei quali tutti i termini in x e y sono sostituiti dalle variabili somma s e prodotto p.

Cubo di trinomio

Il cubo di un trinomio può essere calcolato come:

${\begin{aligned}(x+y+z)^{3}&=(x+y+z)^{2}(x+y+z)\\&=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz)(x+y+z)\\&=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}y+3x^{2}z+3y^{2}x+3y^{2}z+3z^{2}x+3z^{2}y+6xyz\end{aligned}}\,\!$

In generale si può dire quindi che:

Il cubo di un trinomio è uguale alla somma dei cubi dei tre termini, più il triplo prodotto del quadrato di ogni termine per ciascun altro termine, più sei volte il prodotto dei tre termini.

Raccogliendo i termini al quadrato, la formula diventa:

$(x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz\,\!$

Si può quindi affermare che:

Il cubo di un trinomio è uguale alla somma dei cubi dei tre termini, più il triplo prodotto del quadrato di ogni termine per la somma degli altri due, più sei volte il prodotto dei tre termini.

Prodotto della somma di due o più termini per la loro differenza

$(x+y)(x-y)=x^{2}-xy+xy-y^{2}=x^{2}-y^{2}\,\!$

Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo. Leggendo l'uguaglianza da destra verso sinistra, si ottiene anche la regola di scomposizione in fattori di un polinomio pari alla differenza di due quadrati.

La prima formula letta al contrario, vista cioè come scomposizione in fattori della differenza di due quadrati, si generalizza per $n$ qualsiasi in:

$x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})=(x-y)\sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}y^{k}$

Se $n$ è dispari, vale anche:

$x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+...-xy^{n-2}+y^{n-1})=(x+y)\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{n-k-1}y^{k}$

Altri casi

È frequente anche trovare questo prodotto notevole con delle potenze, ma il procedimento di risoluzione si può svolgere allo stesso modo:

$(x+y)^{3}(x-y)^{3}=(x^{2}-y^{2})^{3}\,\!$

La potenza rimane invariata e viene racchiusa tra parentesi nel prodotto notevole svolto. A questo punto si applica il cubo del binomio e si risolve l'espressione in questo modo:

$(x^{2}-y^{2})^{3}=x^{6}-3x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}-y^{6}\,\!$

Casi meno evidenti

Il prodotto notevole può essere applicato anche in casi meno evidenti, per esempio:

$(x+y+z)(x+y-z)=(x+y)^{2}-(z)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}-z^{2}\,\!$

Oppure ancora:

$(x+y+z)(x-y-z)=(x+y+z)(x-(y+z))=x^{2}-{(y+z)}^{2}\,\!$

Somma e differenza tra cubi

Un binomio formato dalla somma di due termini di terzo grado può essere scritto come:

$\,(x^{3}+y^{3})=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

Un binomio formato dalla differenza di due termini di terzo grado può essere scritto come:

$\,(x^{3}-y^{3})=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

Le due formule si possono unificare scrivendole come:

$(x^{3}\pm y^{3})=(x\pm y)(x^{2}\mp xy+y^{2})$

Potenza n-esima di un binomio

Un binomio elevato alla n-esima potenza può essere scritto come:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{k}x^{(n-k)}\,\!$

dove ${n \choose k}$ è il coefficiente binomiale.

La potenza n-esima del binomio è composta da n+1 termini, due dei quali di potenza n e coefficiente unitario. Gli esponenti di x decrescono da n a zero, mentre quelli di y crescono da zero a n. I coefficienti binomiali si possono determinare, oltre che con i fattoriali, anche con il triangolo di Tartaglia.