Valore assoluto

In matematica, il valore assoluto (o modulo) di un numero reale o di un numero complesso $x$ è una funzione che associa a $x$ un numero reale non negativo. Se $x$ è un numero reale, il suo valore assoluto è $x$ stesso se $x$ è non negativo, e $-x$ se $x$ è negativo. Ad esempio, il valore assoluto sia di $3$ che di $-3$ è $3$ . Se $x$ è un numero complesso, il suo valore assoluto è la lunghezza del segmento nel piano complesso che ha per estremi l'origine e $x$ . Quest'ultima definizione coincide con la precedente se il numero complesso $x$ è un numero reale. Il valore assoluto di un numero $a$ si indica con $|a|$ .

Valore assoluto di un numero reale

Nel caso di numeri reali, il valore assoluto si definisce come:

|x|:=\left\{{\begin{matrix}x,&{\mbox{se }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.

oppure

|x|:=\max\{x,-x\}

o mediante le parentesi di Iverson:

|x|:=-x[x<0]+x[x>0]

.

Se rappresentiamo i numeri reali sulla retta reale allora il valore assoluto di un numero può essere visto come la sua distanza dallo zero. Concetti che generalizzano quest'idea sono la nozione matematica di distanza e quella di norma, che talvolta usa la stessa notazione del valore assoluto.

Proprietà

Il valore assoluto ha le seguenti proprietà:

|a| ≥ 0
|a| = 0 se (se e solo se) a = 0.
|ab| = |a||b|
|a/b| = |a| / |b| (con b ≠ 0)
|a+b| ≤ |a| + |b| (la disuguaglianza triangolare)
|a−b| ≥ ||a| − |b|| (Lipschitzianità del valore assoluto)
|a−b| = 0 se e solo se a = b
|a| ≤ b se −b ≤ a ≤ b
|a| ≥ b se a ≤ −b $\vee$ a ≥ b

Le ultime due proprietà sono spesso sfruttate nella soluzione delle disequazioni del tipo:

|x − 3| ≤ 9

−9 ≤ x−3 ≤ 9

−6 ≤ x ≤ 12

Un piccolo suggerimento: quando le disequazioni sono frazionarie, ovvero presentano espressioni con l'incognita al denominatore, questo non si elimina perché bisogna studiarne il segno, cosa che invece accade con i valori assoluti in certi casi: prendiamo, ad esempio, in considerazione una frazione che ha per denominatore |x + 7| + 3. Si può notare che questa quantità è sicuramente positiva per ogni x appartenente a R, poiché x + 7 è sotto valore assoluto, quindi è una quantità sicuramente positiva. 3, che è preceduto dal segno più, è quindi anch'esso positivo. Ne concluderemo che il denominatore si può benissimo sbarrare, evitando così di complicarsi la vita nei calcoli e studiando solo il numeratore (si noti che non si deve neanche porre una condizione di esistenza, poiché se x + 7 si annulla, rimane sempre il 3). Se invece fosse stato |x + 7| - 3 non saremmo potuti intervenire come sopra, poiché x + 7, che è sotto valore assoluto, è una quantità sempre positiva, ma non si sa se lo è anche sommata al numero - 3. Quindi, in questo caso, il denominatore non si sarebbe potuto eliminare e avremmo dovuto studiarne il segno. Ancora, se invece fosse stato solo |x + 7| al denominatore, potevamo certamente eliminare l'espressione, perché sicuramente positiva, a patto però di porre x diverso da - 7, perché se la x assume quel valore il denominatore si annulla e la disequazione diviene impossibile.

Numeri complessi

Nel caso di un numero complesso $c$ il valore assoluto o modulo è definito come

|c|={\sqrt {Re(c)^{2}+Im(c)^{2}}}

dove $Re(c)$ è la parte reale del numero e $Im(c)$ la parte immaginaria. Dunque $|c|$ è la distanza fra l'origine e $c$ nel piano complesso.

In maniera equivalente si può definire il valore assoluto o il modulo di $c\in \mathbb {C}$ come $|c|={\sqrt {c\,{\overline {c}}}}$ , dove ${\overline {c}}$ il complesso coniugato di $c$ .

Questa definizione di valore assoluto su $\mathbb {C}$ soddisfa le proprietà dalla 1 alla 7 sopra indicate: infatti, identificando il campo complesso con lo spazio $\mathbb {R} ^{2}$ , essa non è altro che la norma euclidea del vettore $z=(Re(z),Im(z))$ .

Funzione modulo

Per argomenti reali, la funzione valore assoluto f(x) = |x| è continua ovunque e derivabile per x ≠ 0. La funzione non è invertibile, in quanto non iniettiva: per ogni valore del codominio ci sono due numeri (un numero ed il suo opposto) con lo stesso valore assoluto (tranne che nel caso dello zero).

Per argomenti complessi, la funzione è sempre continua ma non è mai differenziabile (si può vedere mostrando che non obbedisce alle equazioni di Cauchy-Riemann).

Valore assoluto dei vettori

Il valore assoluto o modulo di un vettore n-dimensionale v = (x₁, x₂,..., x_n) è generalmente dato da:

\left|{\mbox{v}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}

Si noti che |v| è la lunghezza del vettore v e che oltre al termine valore assoluto si utilizza spesso il termine norma euclidea o pitagorica (in quanto in due dimensioni questa formula è proprio il teorema di Pitagora).

L'utilizzo di questo termine si spiega con il fatto che il valore assoluto come scritto qui può considerarsi un caso particolare, all'interno dello spazio euclideo, della nozione di norma di un vettore di uno spazio normato o di una matrice: l'insieme dei reali e l'insieme dei complessi si possono infatti considerare spazi normati monodimensionali e insiemi di matrici 1 × 1.

Linguaggi di programmazione informatica

Nel linguaggio C il valore assoluto di un numero è calcolato dalle funzioni abs(), labs(), llabs() (in C99), fabs(), fabsf(), e fabsl(). Scrivere la versione della funzione per i numeri interi è banale, se non si considera il caso limite in cui venga immesso il più grande numero intero negativo:

 int abs(int i)
 {
     if (i < 0)
         return -i;
     else
         return i;
 }

Le versioni per numeri a virgola mobile sono più complesse, in quanto devono tener conto dei codici speciali per l'infinito e not-a-number.

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