Superficie conica

In matematica una superficie conica è una superficie generata dal movimento rigido di una retta detta generatrice lungo i punti di una circonferenza detta direttrice e per un punto fisso detto vertice, non complanare con questa. Tutte le generatrici si incontrano nel vertice, il quale le divide in due semirette che vengono dette falde della superficie conica. In particolare si possono avere due tipi di coniche: quando delta è una conica, non degenere, viene generato il cosiddetto cono quadrico, altrimenti, cioè quando delta non è una curva conica, il cono viene detto cono generico. Pertanto, c'è da tener presente che il cilindro viene considerato come caso particolare di cono avente vertice posto a distanza infinita.

Una superficie conica circolare

Secondo il tipo di conica che ha un cono quadrico come propria direttrice retta, si ha la seguente classificazione:

• Cono circolare: si ottiene dal movimento di una retta $g$, detta generatrice, intorno a un'altra retta $a$, detta asse di rotazione, nella condizione in cui tali rette $g$ e $a$ siano tra loro complanari. In questo modo, sezionando tale cono con un piano perpendicolare all'asse $a$ e non passante per il suo vertice, si ha una circonferenza come direttrice retta dello stesso cono.
• Cono ellittico.
• Cono iperbolico.

Equazioni

Una superficie conica $S$ può essere descritta parametricamente come:

$S(t,u)=v+uq(t),$

con $v$ il vertice della superficie e $q$ la sua direttrice.

Una superficie conica circolare retta di apertura $2\theta$, l'asse della quale è l'asse delle $z$, e con vertice l'origine, è descritta dalla seguente parametrizzazione:

$S(t,u)=(u\sin \theta \cos t,u\sin \theta \sin t,u\cos \theta ),$

dove $t\in [0,2\pi )$ e $u\in (-\infty ,\infty )$. Nella forma implicita, la stessa superficie è descritta dall'equazione $S(x,y,z)=0$, dove:

$S(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.$

Più in generale, una superficie conica circolare retta, con vertice nell'origine e l'asse parallelo al vettore $\mathbf {d}$, di apertura $2\theta$, è data dall'equazione vettoriale implicita $S(\mathbf {x} )=0$, dove:

$S(\mathbf {x} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )^{2}-(\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )(\cos \theta )^{2},$

ossia:

$S(\mathbf {x} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} -|\mathbf {d} ||\mathbf {x} |\cos \theta ,$

dove $\mathbf {x} =(x,y,z)$, e $\mathbf {x} \cdot \mathbf {d}$ denota il prodotto scalare.

In $\mathbb {R} ^{3}$, una superficie conica con direttrice ellittica, è data dalla seguente equazione omogenea di grado 2:

$S(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2uxy+2vyz+2wzx=0.$

Voci correlate

• Proiezione centrale
• Superficie rigata
• Superficie proiettiva
• Sezione conica

Collegamenti esterni

• Sezioni circolari di un cono ellittico, su assex.altervista.org.