Supporto (matematica)
In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è il sottoinsieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla. Se il dominio è uno spazio topologico e la funzione è continua, allora è conveniente definire il supporto come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.
Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.
Nel caso di una misura su uno spazio misurabile , il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.
Funzioni
modificaSia uno spazio topologico, e uno spazio vettoriale. Sia:
Si definisce supporto di l'insieme:[1]
Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.
Teoria della misura
modificaIl supporto di una misura su uno spazio misurabile è la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.
Sia uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:
Curve
modificaIl supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia la parametrizzazione di una curva:
allora il suo supporto è l'immagine di , cioè l'insieme:
Si nota che per descrivere la curva non basta solo il suo supporto. Infatti, ad esempio, la curva e la curva hanno lo stesso supporto, ma la prima è semplice e chiusa, la seconda no.
Supporto singolare
modificaNell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione eccetto per il punto . Nello specifico, essa ha la forma:
La trasformata possiede quindi un supporto singolare e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) che associa alla funzione di test il valore principale di Cauchy di:
Note
modificaBibliografia
modifica- (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
- (EN) Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., New York, John Wiley, 1999, p. 132.
- (EN) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed., Berlin, Springer-Verlag, 1990, p. 14.
- (EN) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Berlin, Springer-Verlag, 2011, p. 678, DOI:10.1007/978-88-470-1781-8, ISBN 978-88-470-1780-1.