Interpolazione di Lagrange

In analisi numerica l'interpolazione di Lagrange è un particolare tipo di interpolazione polinomiale, fu scoperta per la prima volta da Edward Waring nel 1779, successivamente da Leonhard Euler nel 1783 e infine riscoperta da Joseph Louis Lagrange nel 1795.

Definizione

Data una funzione $f(x)$ e $n+1$ punti $a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n}$ per cui sono noti i valori $f(a_{0}),f(a_{1}),f(a_{2})...f(a_{n})$ si definisce il polinomio interpolatore di Lagrange della funzione $f$ il polinomio

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}{f(a_{i})\prod _{j\neq i,j=0}^{n}{\frac {x-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}}}$

Proprietà

Per ogni $i=1,2...n$ si ha $P(a_{i})=f(a_{i})$ e per qualsiasi $x$ si ha

$f(x)=P(x)+{\frac {1}{n!}}\prod _{i=1}^{n}{(x-a_{i})}f^{(n)}(\xi )$

dove $\xi$ è un valore incognito funzione di $x$ appartenente all'intervallo minimo a cui appartengono i punti $a_{1},a_{2}...a_{n}$ e $x$ .

Dimostrazione

Per semplicità scriviamo

$p_{n}(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i})$

per cui

$P(x)=\sum _{i=1}^{n}{f(a_{i})g_{i}(x)}$

dove

$g_{i}(x)={\frac {p_{n}(x)}{(x-a_{i})p_{n}'(a_{i})}}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}}$

ora abbiamo che per ogni $i\neq j$ accade che $g_{i}(a_{j})=0$ poiché l'espressione di $g_{i}(x)$ contiene un fattore $x-a_{j}$ a numeratore, del resto $g_{i}(a_{i})=1$ per ogni $i$ da cui $P(a_{i})=f(a_{i})$ .

Adesso consideriamo la funzione

$F(z)=f(z)-P(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {p_{n}(z)}{p_{n}(x)}}$

quando $x\neq a_{i}\forall i$ , essa ha $n+1$ zeri nei punti $a_{1},a_{2}...a_{n}$ e $x$ , derivando $n$ volte

$F^{(n)}(z)=f^{(n)}(z)-P^{(n)}(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {p_{n}^{(n)}(z)}{p_{n}(x)}}$

Dall'applicazione del teorema di Rolle per $n$ volte la funzione $F^{(n)}(z)$ ha almeno uno zero $\xi$ nell'intervallo minimo che contiene $a_{1},a_{2}...a_{n}$ e $x$ .

Sappiamo che $p_{n}(x)$ è un polinomio di grado $n$ il cui coefficiente di $x^{n}$ è 1, per cui $p_{n}^{(n)}(x)=n!$ , invece $P(x)$ è un polinomio di grado $n-1$ per cui $P^{(n)}(x)=0$ , infine