Cardinalità
In teoria degli insiemi per cardinalità (o numerosità o potenza) di un insieme finito si intende il numero dei suoi elementi.
La cardinalità di un insieme è indicata con i simboli , oppure .
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]La definizione, valida anche per insiemi infiniti, è astratta ed è una generalizzazione del concetto di numero naturale.
La definizione segue i seguenti passi:
- due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti o anche "equinumerosi" se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se a ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B, e viceversa;
- si constata che l'equicardinalità è una relazione di equivalenza (in realtà essa gode solamente delle proprietà che caratterizzano le relazioni d'equivalenza ma in teoria assiomatica degli insiemi non è una relazione d'equivalenza a causa del fatto che: " l'insieme di tutti gli insiemi equipotenti a un assegnato insieme A" non è un insieme, ma una classe propria). Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) se sono equicardinali;
- gli insiemi finiti si possono collocare in classi di equicardinalità e ciascuna di queste classi di equivalenza può essere rappresentata dall'intero naturale che fornisce il numero di ciascuno degli insiemi; quindi gli interi naturali possono essere identificati con le potenze degli insiemi finiti;
- si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con l'insieme dei naturali: questa classe si dice cardinalità del numerabile e si può considerare come un numero; questo si denota con il simbolo , da leggersi aleph-zero;
- indichiamo con la più piccola cardinalità più che numerabile. Questo processo può proseguire e si può individuare una successione di entità che si dicono numeri cardinali transfiniti;
- si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con i numeri reali (o con i numeri reali dell'intervallo [0,1]): questa classe si dice cardinalità del continuo e si può considerare come un numero che si denota con . L'Ipotesi del continuo afferma ;
- si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con la totalità delle funzioni di variabile reale a valori reali; questa classe si dice cardinalità delle funzioni e si denota con . Secondo l'ipotesi del continuo generalizzata .
È fondamentale il teorema di Cantor-Bernstein:
siano e due insiemi; se esistono un'applicazione iniettiva di in e un'applicazione iniettiva di in allora e sono equipotenti.
Ad esempio, l'intervallo di numeri reali è equipotente all'intervallo infatti la funzione è iniettiva, ma anche la funzione è iniettiva, quindi per il teorema di Cantor-Bernstein gli insiemi e sono equipotenti.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla cardinalità
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- cardinalità, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- cardinalita, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
- cardinalità, su sapere.it, De Agostini.
- cardinalita, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Cardinality, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
- (EN) Denis Howe, cardinality, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL