Massimo e minimo di una funzione

In matematica, con massimo e minimo di una funzione (noti collettivamente come estremi) sì intendono rispettivamente il valore massimo e il valore minimo che la funzione assume nel suo dominio. I punti cui corrispondono questi valori sono detti rispettivamente punto di massimo e punto di minimo e collettivamente sono punti estremanti.

Definizione

Si dice che una funzione a valori reali $f\colon D\to \mathbb {R}$ ha in un punto $x_{0}$ del proprio dominio $D$ un massimo globale (o assoluto) se in $x_{0}$ assume un valore maggiore o uguale a quello che assume negli altri punti di $D$ , ossia:

f(x_{0})\geq f(x),\qquad \forall x\in D.

Viceversa $f$ ha un minimo globale (o assoluto) in un punto $x_{0}$ di $D$ se

f(x_{0})\leq f(x),\qquad \forall x\in D.

Si dice che una funzione $f$ ha in $x_{0}$ un massimo locale (o relativo) se $x_{0}$ appartiene al dominio $D$ di $f$ , è di accumulazione per $D$ , e inoltre $f(x_{0})\geq f(x)$ in un intorno di $x_{0}$ .

La funzione $f$ ha invece un minimo locale (o relativo) in $x_{0}$ se $x_{0}$ appartiene al dominio $D$ di $f$ , è di accumulazione per $D$ , e inoltre $f(x_{0})\leq f(x)$ in un intorno di $x_{0}$ .

Funzioni reali derivabili in una variabile reale

Derivata prima

Nel caso di una funzione derivabile di una variabile reale la condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché un punto possa, eventualmente, essere di massimo o di minimo locale è data dal teorema di Fermat, in base al quale la derivata prima di una funzione deve annullarsi se calcolata in corrispondenza di un punto di massimo o minimo locale:

f'(x_{0})=0.

Tale condizione permette di trovare un certo numero di punti $(x_{0},x_{1},\ldots )$ che si chiamano punti critici o stazionari. Naturalmente questa condizione vale per tutti i punti interni al dominio di derivabilità, cioè nei punti interni di questo insieme, mentre negli estremi dell'insieme non è detto che la derivata esista e proprio per questo motivo la condizione vale per gli intervalli aperti. Questa condizione si può dimostrare: infatti se $x_{0}$ è un punto di massimo locale, allora in un intorno $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ di $x_{0}$ vale che il rapporto incrementale:

{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}{\begin{cases}\leq 0,&\forall x_{0}<x<x_{0}+\delta ,\\\geq 0,&\forall x_{0}-\delta <x<x_{0},\end{cases}}

per cui passando al limite di una funzione per $x\to x_{0}$ si deduce che necessariamente $f'(x_{0})=0$ .

Geometricamente questa condizione significa che la retta tangente nel punto $x_{0}$ è orizzontale. Tale condizione non è né necessaria né sufficiente per avere un massimo o un minimo locale: infatti da un lato ci possono essere punti di massimo o minimo locale anche laddove la funzione non è derivabile, e dall'altro ci possono essere punti (di flesso) dove la derivata si annulla ma la funzione non ha massimo o minimo locale.

Possiamo utilizzare la derivata prima per classificare i punti critici. Un punto $x_{0}$ è di massimo locale per $f$ se nei suoi intorni destro e sinistro:

f'(x){\begin{cases}\leq 0,&x_{0}<x<x_{0}+\delta ,\\\geq 0,&x_{0}-\delta <x<x_{0}.\end{cases}}

Viceversa è di minimo locale se:

f'(x){\begin{cases}\geq 0,&x_{0}<x<x_{0}+\delta ,\\\leq 0,&x_{0}-\delta <x<x_{0}.\end{cases}}

Se infine il valore della derivata non cambia attraversando il punto $x_{0}$ allora questo è un punto di flesso ascendente o discendente a seconda che la derivata prima rimanga sempre positiva o sempre negativa.

Derivata seconda

Alternativamente se la funzione ammette la derivata seconda in un punto, un punto è di massimo o minimo relativo se la derivata prima della funzione si annulla (quindi $x_{0}$ è un punto stazionario) e la derivata seconda non si annulla. Più precisamente, posto che la derivata prima si annulli, se la derivata seconda risulta essere maggiore di 0, allora significa che la concavità sarà rivolta verso l'alto, perciò il punto è di minimo. Mentre, se la derivata seconda è minore di zero, significa che la concavità è rivolta verso il basso e quindi si tratterà di un punto di massimo. Se invece la derivata seconda si annulla, nel caso in cui la derivata terza sia diversa da zero, avremo in quel punto un flesso a tangenza orizzontale ascendente o discendente e, per la definizione di flesso, la funzione cambierà concavità in tale punto.

Funzioni di due o più variabili reali

Nel caso di funzioni in più variabili, il discorso fatto è analogo, ma ad annullarsi è il differenziale (e quindi il gradiente) della funzione. Nel caso di funzioni di due variabili, per verificare se il punto è di massimo o minimo, si guarda il segno del determinante della matrice hessiana e il primo termine della matrice:

primo elemento positivo, determinante positivo (matrice definita positiva): si ha un minimo locale;
primo termine negativo, determinante positivo: si ha un massimo locale;
determinante negativo, allora il punto si dice punto di sella;
determinante nullo: bisogna calcolare la positività della funzione.

Nel caso di funzioni di tre o più variabili, invece, si deve studiare il segno degli autovalori della matrice hessiana (nei punti critici, cioè dove si annulla il gradiente) e:

se gli autovalori sono strettamente maggiori di zero, il punto che annulla il gradiente è di minimo locale;
se gli autovalori sono strettamente minori di zero, tale punto è di massimo locale;
se gli autovalori cambiano segno, il punto è di sella;
se gli autovalori sono tutti nulli, non danno informazioni sulla natura del punto.

In caso di funzioni di due o più variabili, la ricerca dei punti di massimo e minimo non si esaurisce all'interno del dominio dove la funzione è derivabile, ma si devono cercare i massimi e i minimi anche sulla frontiera, in cui in generale la funzione non è differenziabile. In tal caso, nelle funzioni di due variabili si parametrizza la frontiera e si cercano i punti di massimo e di minimo come visto per una variabile reale.

Esempi

Funzione di una variabile reale

Si consideri

y=x\mathrm {e} ^{-x^{2}}.

Calcoliamo la derivata prima:

y'=\mathrm {e} ^{-x^{2}}-2x^{2}\mathrm {e} ^{-x^{2}}=\mathrm {e} ^{-x^{2}}(1-2x^{2}).

Calcoliamo la derivata seconda:

y''=-2x\mathrm {e} ^{-x^{2}}(1-2x^{2})+\mathrm {e} ^{-x^{2}}(-4x).

La derivata prima si annulla nei punti

x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {1}{2}}}.

Nel punto $x_{1}={\sqrt {\frac {1}{2}}}$ la derivata seconda è negativa, quindi è un punto di massimo, mentre nel punto $x_{2}=-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$ la derivata seconda è positiva, quindi è un punto di minimo.

Funzione di due variabili reali

Si consideri la funzione di due variabili

z=x^{3}+y^{3}+3xy.

Calcoliamo le derivate parziali prime:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f_{x}=3x^{2}+3y;

{\frac {\partial z}{\partial y}}=f_{y}=3y^{2}+3x.

Quindi il gradiente di $f(x,y)$ è:

\nabla f(x,y)=(f_{x};f_{y})={\begin{pmatrix}f_{x}=3x^{2}+3y\\f_{y}=3y^{2}+3x\end{pmatrix}}.

I punti critici sono dati dalla soluzione del sistema:

{\begin{cases}f_{x}=3x^{2}+3y=0\\f_{y}=3y^{2}+3x=0\end{cases}}\leftrightarrow {\begin{cases}x^{2}+y=0\\y^{2}+x=0\end{cases}}\leftrightarrow {\begin{cases}y=-x^{2}\\x^{4}+x=0\end{cases}}\leftrightarrow {\begin{cases}x(x^{3}+1)=0\\y=-x^{2}\end{cases}}

Quindi:

{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}

oppure

{\begin{cases}x=-1\\y=-1.\end{cases}}

Calcoliamo le derivate parziali seconde:

f_{xx}=6x;

f_{xy}=3;

f_{yy}=6y;

f_{yx}=3.

Quindi la matrice hessiana di $z$ è:

H={\begin{pmatrix}6x&3\\3&6y\end{pmatrix}}.

Basandosi sul modello:

H={\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}}.

Calcoliamo la matrice hessiana nei punti critici (anche detti "punti stazionari"):

H(0,0)={\begin{pmatrix}0&3\\3&0\end{pmatrix}}.

Questa matrice ha determinante negativo ( $-9$ ), quindi è un punto di sella.

H(-1,-1)={\begin{pmatrix}-6&3\\3&-6\end{pmatrix}}.

Questa seconda matrice ha invece determinante positivo ( $27$ ) e primo termine ( $-6$ ) negativo quindi è un punto di massimo relativo.

Bibliografia

Enrico Giusti, Analisi Matematica 1, 3ª ed., Torino, Bollati Boringhieri editore, 2017, pp. 263-275, ISBN 978-88-339-5684-8.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul massimo e minimo di una funzione

Collegamenti esterni

massimi e minimi, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
Guido Ascoli, MASSIMI e MINIMI, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1934.
(EN) extremum, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Extremum, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili	Analisi matematica
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy