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Literatur
Nous réservons exclusivement le nom de pointscritiques d'une fonctiony(x) aux points singuliers (isolés ou non) autour desquels deux branches au moins dey(x) se permutent. L'intégrale générale d'une équation à points critiques fixes peut présenter des singularités essentielles mobiles.
Comptes-Rendus de l'Académie des sciences de Paris (1855–1856); Journal de l'Ecole Polytechnique, tome 21, cahier 36 (1856). — Voir aussi laThéorie des fonctions elliptiques (2ème édition), livre 5, chapitre 4.
Les résultats deWeierstrass, qui servent de base à sa théorie des fonctions elliptiques, semblent remonter à la même époque. Ils ont été enseignés mais non publiés.
Berlin. Sitzungsberichte, 1884, p. 699–720.
Comptes Rendus Juillet 1884. Acta mathematica (tome 7) 1885, p. 1–32.
D'une façon précise, l'équation s'intégre algébriquement, ou se ramène algébriquement soit à une équation deRiccati, soit à l'équation:\(\frac{{dy}}{{\sqrt {\left( {I - y^2 } \right)\left( {I - k^2 y^2 } \right)} }} = u\left( x \right)dx\)
Les principaux de ces mémoires sont les suivants:Sur une propriété des fonctions uniformes d'une variable liées par une relation algébrique et sur une classe d'équations différentielles [Comptes Rendus 1880, t. 91, et Bulletin des sciences mathématiques 1880, t. 4 (2e série)].Sur la transformation des surfaces et sur une classe d'équations différentielles (Comptes Rendus 1886, t. 103).Sur une classe d'équations différentielles (Comptes Rendus 1887, t. 104).Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables (Journal de Liouville 1889, t. 5, p. 223–249 et p. 263–319).Sur des fonctions d'une variable dépendant de deux constantes arbitraires (Comptes Rendus 1892, t. 114).Remarques sur les équations différentielles (Acta mathematica 1893, t. 17).Sur une classe de transcendantes nouvelles (Comptes Rendus 1893, t. 117, et Acta mathematica 1894, t. 18).Sur une classe d'équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme (Comptes Rendus 1893, t. 117).Sur l'inversion des intégrales à multiplicateurs (American Journal 1894, t. 16, et Traité d'Analyse t. 3, p. 66–80).Sur une classe d'équations différentielles dont l'intégrale est uniforme (Comptes Rendus 1895, t. 120).
Les singularités transcendantes des intégralesy(x) d'une équation différentielle (algébrique)du premier ordre \(F\left( {\frac{{dy}}{{dx}},y, x} \right) = o\) sont des pointsfixes en nombre fini, dont les affixes se calculent algébriquement sur l'équation même; j'ai démontré ce théorème pour la première fois dans ma thèse (Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, Paris, Juin 1887, p. 38). J'en ai déduit cette conséquence que, si l'équationF=0 a ses points critiques fixes,l'intégrale y(x renferme algébriquement la constante y o (valeur dey pour la valeur numériquex 0 dex). Ces deux propositions (qui sont l'une et l'autre en défaut pour les équations du second ordre) mettent à l'abri de toute objection les travaux (cités plus haut) deM. Fuchs et deM. Poincaré, M. Fuchs se bornait à exprimer que l'équationF=0 ne présente pas de points critiquesalgébriques mobiles: il n'en résultait pas que l'équation eût ses points critiques fixes; étendues au second ordre, les conditions deM. Fuchs conduisaient à des équations possédant des points critiquestranscendants mobiles; si les conditions deM. Fuchs se trouvent être suffisantes pour le premier ordre, «la véritable raison», ditM. Picard (Acta mathematica, t. 17, p. 298) «en est dans la théorème deM. Painlevé». Les travaux deBriot etBouquet prêtaient d'ailleurs à la même objection, mais non ceux deWeierstrass. La méthode deM. Poincaré, au contraire, n'introduisait sûrement que des équations à points critiques fixes; mais comme elle supposait implicitement l'intégraley(x) algébrique eny 0, on pouvait se demander si elle les équisait toutes. Étendue au second ordre, cette admirable méthode d'intégration est bien loin de donner toutes les équations à points critiques fixes, ainsi qu'on s'en rendra compte plus loin (no 20). Voir, au sujet de cette discussion, mes leçons de Stockholm (p. 23–60 et 443–462).
VoirPicard, Acta mathematica 1893, t. 17, p. 298.
Comptes Rendus 1892, t. 114, p. 1310.
Acta mathematica 1893, t. 17, p. 300.
M. Picard ajoutait il est vrai: «J'espère beaucoup plus de ces systèmes d'équations aux dérivées partielles ... que j'ai sommairement indiqués dans une note des Comptes Rendus (Sur des fonctions d'une variable dépendant de deux constantes réelles arbitraires, juin 1892).» Mais ces systèmes, en réalité, équivalent à une équation ordinaire du premier ordre (voir le no 9).
Il est même loisible de supposerR non pasalgébrique en x mais simplementanalytique en x.
Je laisse entièrement de côté dans cet historique les travaux (deWeierstrass, deM. Picard, deM. Poincaré, etc.) relatifs aux équations à points critiques fixes dont l'intégrale renfermealgébriquement les constantes d'intégration. J'ai montré, en effet (Leçons de Stockholm, p. 351–394),que toute équation différentielle (algébrique) dont l'intégrale est une fonction algébrique des constantes, se ramène algébriquement aux quadratures ou aux équations linéaires. Pour nous limiter au second ordre, le théorème précis est le suivant: ou bien l'intégraley(x) est une fonction algébrique deu, v, x, oùu (x), v(x) sont donnés par un des systèmes\(\frac{{du}}{{dx}}\left\{ \begin{gathered} = - u^2 + A\left( {x, v} \right) \hfill \\ = a\left( x \right)\sqrt {\left( {I - u^2 } \right)\left( {I - k^2 u^2 } \right)} \hfill \\ \end{gathered} \right.,\frac{{dv}}{{dx}}\left\{ \begin{gathered} = - v^2 + b\left( x \right) \hfill \\ = c\left( x \right)\sqrt {\left( {I - v^2 } \right)\left( {I - \chi ^2 v^2 } \right)} \hfill \\ \end{gathered} \right.\) (A fonction algébrique dex, v; a, b, c dex; k etx numériques); ou bieny(x) s'exprime algébriquement à l'aide dex et de deux fonctions hyperelliptiques, Ψ(u, v), χ(u,v), dont les deux arguments sont deux intégrales abéliennes enx, soitu=∫ a(x)dx, v=∫ b(x)dx, ou enfin,y(x) est une fonction algébrique de (x, u, u′), u désignant la dérivée logarithmiquez′/z de l'integralez d'une équation linéaire, homogène du 3e ordre.
Comptes Rendus 1880, t. 91, p. 1058, et Bulletin des sc. math. t. 4 (2e série), p. 416.M. Picard se limite au cas oùy(x) est supposéeméromorphe dans le plan.
Journal de Liouville 1889, 4e série, t. 5, p. 300–318; American Journal 1894, t. 16, p. 111–122; Traité d'Analyse, t. 3, p. 67–80.M. Picard ne considère que le cas où l'expressione ∫ A(y)dy n'a pas de points singuliers transcendants.
Journal deLiouville 1889, 4e série, t. 5, p. 277–293.
Comme ces conditions n'étaient établies que moyennant certaines hypothèses simplificatrices faites sur l'équation (1), il n'était pas démontré qu'elles fussentnécessaires pour que l'intégrale fût uniforme.
Crelle, 1898, t. 119, p. 87–113, et 1899, t. 120, p. 113–131.
Theory of differential equations, t. 111, p. 276–306.
Acta mathematica, t. 18 (1894), p. 233–245.
Stockh. öfv., t. 52 (1895), p. 223–241.
Acta Mathematica, t. 17 (1893), p. 296–300.
Il se trouve en réalité que, pour les équations (2), ces conditions sontsuffisantes sans êtrenécessaires. De plus, en dépit de leur complication apparente et de leur caractère différentiel, on peut former explicitement, et d'une façon très simple, toutes les équations (2) qui satisfont à ces conditions [voir le no 30].
Comptes Rendus, tome 114 (1892), p. 1310–1313, et Acta mathematica, tome 17 (1893), p. 300.
Comptes Rendus, ibidem tome 114 (1892), p. 1310–1313, et Acta mathematica, tome 17 (1893), p. 1312.
Comptes Rendus, t. 117 (1893), p. 472 et p. 603; Acta mathematica, t. 18 (1894), p. 133.
Cette remarque a été faite ultérieurement parM. Picard [Comptes Rendus, t. 120 (1895), p. 402].
La méthode repose sur ce principe bien intuitif: «Considérons une équation différentielle dont le coëfficient différentiel est une fonction (holomorphe poura=0) d'un paramètrea. Si l'équation a ses points critiques fixes poura quelconque (mais ≠0), il en est de même,a fortiori poura=0, et le développement de l'intégraley(x), suivant les puissances dea, a comme coëfficients des fonctions dex à points critiques fixes.» Pour faire concevoir immédiatement l'esprit de la méthode, cherchons des conditionsnécessaires pour que l'équationy″=R(y′,y,x), (oùR est rationnel eny′,y,x), ait ses points critiques fixes. Il faut d'abord, comme il est bien connu, que l'équation soit de la forme:\(y'' = A\left( {y, x} \right)y'^2 + B\left( {y, x} \right)y' + C\left( {y, x} \right).\) Changeonsx enx 0+ax; l'équation devient\(y'' = A\left( {y, x_0 } \right)y'^2 + a\left\{ \ldots \right\};\) d'après le principe énoncé, l'équation:\(y'' = A\left( {y, x_0 } \right)y'^2 \) doit avoir son intégrale générale uniforme: ce qui détermine aussitôt toutes les expressions possibles de la fraction rationnelleA eny. Les degrés deB etC eny se limitent avec la même facilité. La méthode, moyennant quelques modifications, se laisse d'ailleurs adapter à toutes les questions qui concernent les propriétés analytiques des intégrales d'une équation différentielle quelconque: par exemple à l'étude des intégrales définies par des conditions initialesx 0,y 0,y′ 0... qui donnent au coëfficient différentiel la forme 0/0.
Leçons de Stockholm, p. 482–484 et 501–517. — Comptes Rendus, avril 1896.
La correspondance biuniforme\(\begin{gathered} y = y_0 ,y_0 = y, \hfill \\ z = z_0 e^{y_0 } ,z = ze^{ - y} \hfill \\ \end{gathered} \) est semi-transcendante. La combinaison des deux transformations\(\begin{gathered} y_1 = y_0 ,y = y_1 e^{z_1 } , \hfill \\ z_1 = z_0 e^{y_0 } ,z = z_1 \hfill \\ \end{gathered} \) conduit à la transformation essentiellement biuniforme\(\begin{gathered} y_1 = y_0 e^{\left( {z_0 e^{y_0 } } \right)} ,y_0 = ye^{ - z} , \hfill \\ z = z_0 e^{y_0 } ,z_0 = ze^{ - \left( {ye^{ - z} } \right)} . \hfill \\ \end{gathered} \) Il existe d'ailleurs, ainsi que je l'ai montré, des correspondances biuniformes qui ne résultent pas de la combinaison de transformations semi-transcendantes.
Voir la note 1 de la page 8, et mesLeçons de Stockholm, p. 360–389.
Leçons de Stockholm, p. 465–477.
L'équation (2) de III a été formée explicitement parM. Picard (Journal de Liouville 1889, 4e série, tome 5, p. 299). Elle fait partie, au fond, du système classique d'équations différentielles que vérifient les fonctions elliptiques regardées comme fonctions des invariants (voirHalphen,Traité des fonctions elliptiques, tome 1, p. 252–253 et p. 291–331).
On peut former trois autres expressions analogues àu(x) en permutant le rôle des valeurs remarquablesy=x,y=0,y=1,y=∞.
Voir mesLeçons de Stockholm, p. 501–517.
H est égal à l'expression\(\frac{{af - be}}{{cf - de}} \times \frac{{ch - dg}}{{ah - bg}}\); si cette expression n'est pas une constantea, on pose:H(x)=X
Voir au no 16 le sens précis de ce terme.
Il convient de remarquer que les fonctions\(\sqrt {4y^3 - g_2 y - g_3 } \) pour l'équation (1) de IX, et\(\sqrt {y\left( {y - I} \right)\left( {y - x} \right)} \) pour l'équation (2) de IX ont aussi leurs points critiques fixes.
Voir le no 8, p. 9 et la note 1 de la page 10.
J'entends par là que les coëfficientsa, b, c, d, l. de (22) sont des fonctions algébriques quelconques deX.
La valeur dex étant arbitrairement choisie, il n'y a d'exception que pour un nombre fini de valeurs de λ; on donnera à λ une valeur distincte de ces valeurs exceptionnelles.
SiA, B, C, sont algébriques enx, il suffit de choisir λ(x) algébrique pour quex figurealgébriquement dans toutes ces formules.
Il est loisible de substituer àt(y) toute irrationnelle,T(y) qui lui correspond par la transformation:T=r(t, y, x),t=r 1 (T, y, x) oùr, r 1 sont rationnels le premier ent, y, le second enT, y et analytiques enx. Inversement, toute irrationnelleT(y) qui peut remplacert(y) s'en déduit par une transformation birationnelle de l'espèce précédente; cette transformation ne change pas le genre ϖ.
J'entends par là quey ett sont rationnels enY et qu'inversementY est rationnel eny, t; x figure analytiquement.
J'entends par là, comme je l'ai dit (no 16), que les conditions pour que les points critiques de (E) soient fixes se traduisent par un nombre fini de relations différentielles algébriques entre les coefficientsa(x), b(x),... de (E).
En effet, π(X) est une fonction uniforme qui ne doit acquérir aucune des trois valeurs 0, 1, ∞.
D'après cela, les types (7), (8), (12) et (13) de IV, (7) de VI, (2) de X doivent être exclus. Dans les autres types, les fonctions arbitrairesq(x), etc., doivent être remplacées par des constantes arbitraires.
Journal deLiouville, 4e série, t. 5 (1887), p. 277–293.
J'ai résolu ce problème dès l'année 1893 (voir les Comptes Rendus de l'Ac. des sciences de Paris, 24 juillet 1893), mais par une méthode beaucoup plus compliquée.
Comptes Rendus de l'Ac. des sc. de Paris, 10 juillet 1893; Acta mathematica, t. 18 (1894), p. 233–246.
La méthode deM. Mittag-Leffler négligeait l'hypothèse où l'intégrale serait holomorphe dans tout le plan. Mait il était bien facile de voir que cette hypothèse n'est réalisée que dans le cas où l'équation (f") estlinéaire.
L'équation (3) de XIII comprend les types (3), (4), (5) des I; l'équation (5) comprend les types (2) et (3) de II l'équation (6) comprend les types (4) et (5) de II. Comme dans tous les tableaux précédents, α, β..., désignent des constantes numériques,a(x), b(x)... des fonctions analytiques dex.
On annule préalablement λ etb(x) dans (7) eta(x) dans (8).
Il est loisible de supposer ces coëfficients analytiques (et non algébriques) enx.
Dans les autres cas, l'équation (35) (à points critiques fixes) est réductible aux quadratures ou aux équations linéaires, et ne saurait définir de transcendantes nouvelles.
Il serait loisible de supposerR analytique (et non algébrique) enx et même eny.
J'entends par là quea(y, x 0),b(y, x 0) etc ... sont rationnels eny, t et qu'inversementt(y, x 0) s'exprime rationnellement en fonction dey et dea, b, ...
Il serait loisible, là encore, de supposerP non pas algébrique, mais analytique enx et même eny.
λ=0 ne peut être pôle d'ordre inférieur.
Il serait loisible de supposerR analytique enz, y (m−4), ...y′, y, x.
Om Fladerne af 4de Orden med Tilbagegangs Keglesnit og deres Konturer. Copenhague 1881.
M. Zeuthen m'a le premier communiqué ce théorème sans toutefois m'en donner la démonstration.
VoirSalmon: Higher plane curves. Sec. Ed. p. 241.
On peut [pourz, y (m−4),...y′,y, x, quelconques] exprimer,A(z′),B(z′),C(z′),birationnellement à l'aide dez′ et d'une irrationnelle θ (z′) définie par une relationH(θ,z′)=0,H renfermant algébriquementz, y (m−4),...y′,y, x: on commence par établir que la courbe algébriqueH(θ,z′)=0 est unicursale, ou encore (sim≦7) est une courbe de genre 1 (dont un des modulesg 2,g 3 est nul).
Les fonctions elliptiques peuvent être définies par une équation différentielle, ou par une condition fonctionnelle (la double périodicité), ou par des séries à loi de récurrence très simple. La fonction modulaire, en outre des trois définitions analogues, se laisse aussi engendrer par l'intermédiaire d'une intégraledéfinie.
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Painlevé, P. Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme. Acta Math. 25, 1–85 (1902). https://doi.org/10.1007/BF02419020
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02419020