Sistem aksiom

Dalam matematik dan logik, satu sistem aksiom ialah sebarang set aksiom yang mana sebahagian atau semua aksiom daripadanya boleh digunakan serentak untuk melahirkan teorem-teorem baru mengggunakan kaedah logik. Suatu teori matematik mengandungi satu sistem aksiom dan kesemua teorem yang diterbitkan daripadanya. Sebuah sistem aksiom yang telah diterangkan dengan lengkap adalah sejenis sistem formal yang istimewa, namun biasanya usaha kepada pemformalan yang lengkap boleh mengurangkan kepastian dan akhirnya tidak boleh dibaca oleh manusia. Oleh itu perbincangan mengenai sistem aksiom biasanya separa formal. Teori formal ialah sistem aksiom (biasanya dirumus dalam teori model) yang menerangkan satu set ayat yang ditutup di bawah implikasi logik. Pembuktian formal ialah penyampaian lengkap pembuktian matematik dalam sistem formal.

Ciri-ciri

Suatu sistem aksiom dikatakan konsisten jika ia tidak mempunyai percanggahan. Iaitu, adalah mustahil untuk mendapatkan kedua-dua pernyataan dan penolakannya daripada aksiom sistem. Ketekalan adalah keperluan utama untuk kebanyakan sistem aksiom, kerana kehadiran percanggahan akan membolehkan sebarang pernyataan dibuktikan (prinsip letupan).

Dalam sistem aksiom, aksiom dipanggil bebas jika ia tidak dapat dibuktikan atau disangkal daripada aksiom lain dalam sistem. Sesuatu sistem dipanggil bebas jika setiap aksiom asasnya adalah bebas. Tidak seperti ketekalan, kebebasan bukanlah keperluan yang diperlukan untuk sistem aksiom yang berfungsi — walaupun ia biasanya dicari untuk meminimumkan bilangan aksiom dalam sistem.

Sistem aksiom dipanggil lengkap jika untuk setiap pernyataan, sama ada dirinya atau penafiannya boleh diterbitkan daripada aksiom sistem (setara, setiap pernyataan mampu dibuktikan benar atau salah).

Konsistensi relatif

Di luar konsistensi, konsistensi relatif juga merupakan tanda sistem aksiom yang berbaloi. Ini menerangkan senario di mana istilah yang tidak ditentukan bagi sistem aksiom pertama diberikan takrifan dari saat, sehingga aksiom pertama adalah teorem kedua.

Contoh yang baik ialah ketekalan relatif geometri mutlak berkenaan dengan teori sistem nombor nyata. Garis dan titik ialah istilah yang tidak ditentukan (juga dipanggil tanggapan primitif) dalam geometri mutlak, tetapi memberikan makna dalam teori nombor nyata dengan cara yang konsisten dengan kedua-dua sistem aksiom.

Model-model

Model untuk sistem aksiom ialah set yang ditakrifkan dengan baik, yang memberikan makna bagi istilah yang tidak ditentukan yang dibentangkan dalam sistem, dengan cara yang betul dengan hubungan yang ditakrifkan dalam sistem. Kewujudan model konkrit membuktikan ketekalan sesuatu sistem. Model dipanggil konkrit jika makna yang diberikan adalah objek dan hubungan dari dunia nyata, berbanding model abstrak yang berdasarkan sistem aksiom lain.

Model juga boleh digunakan untuk menunjukkan kebebasan aksiom dalam sistem. Dengan membina model yang sah untuk subsistem tanpa aksiom tertentu, kami menunjukkan bahawa aksiom yang ditinggalkan adalah bebas jika ketepatannya tidak semestinya mengikut subsistem.

Dua model dikatakan isomorfik jika korespondensi satu-dengan-satu boleh ditemui antara unsur-unsurnya, dengan cara yang mengekalkan hubungan mereka. Sistem aksiom yang setiap model adalah isomorfik kepada yang lain dipanggil kategori (kadangkala kategori). Sifat pengkategorian (kategorisiti) memastikan kesempurnaan sistem, namun sebaliknya adalah tidak benar: Kesempurnaan tidak memastikan pengkategorian (kategorisiti) sistem, kerana dua model boleh berbeza dalam sifat yang tidak dapat dinyatakan oleh semantik sistem.

Contoh

Sebagai contoh, perhatikan sistem aksiom berikut, berdasarkan logik tertib pertama dengan semantik tambahan bagi aksiom yang terbilang tak terhingga berikut ditambah (ini boleh diformalkan dengan mudah sebagai skema aksiom):

$\exists x_{1}:\exists x_{2}:\lnot (x_{1}=x_{2})$ (secara tidak formal, terdapat dua item yang berbeza).

$\exists x_{1}:\exists x_{2}:\exists x_{3}:\lnot (x_{1}=x_{2})\land \lnot (x_{1}=x_{3})\land \lnot (x_{2}=x_{3})$ (secara tidak formal, terdapat tiga item yang berbeza).

$...$

Secara tidak formal, set aksiom tak terhingga ini menyatakan bahawa terdapat banyak item yang berbeza secara tak terhingga. Walau bagaimanapun, konsep set tak terhingga tidak boleh ditakrifkan dalam sistem — apatah lagi kekardinalitian set tersebut.

Sistem ini mempunyai sekurang-kurangnya dua model berbeza - satu ialah nombor asli (isomorfik kepada mana-mana set tak terhingga boleh dikira lain), dan satu lagi ialah nombor nyata (isomorfik kepada mana-mana set lain dengan kardinaliti kontinum). Malah, ia mempunyai bilangan model yang tidak terhingga, satu untuk setiap kardinaliti set tak terhingga. Walau bagaimanapun, sifat yang membezakan model ini ialah kardinalitinya — sifat yang tidak boleh ditakrifkan dalam sistem. Oleh itu, sistem ini bukan kategori. Walau bagaimanapun ia boleh ditunjukkan sebagai lengkap.

Kaedah aksiom

Menyatakan takrif dan proposisi dengan cara yang membolehkan setiap istilah baharu boleh dihapuskan secara rasmi oleh istilah yang diperkenalkan sebelum ini memerlukan tanggapan primitif (aksiom) untuk mengelakkan regresi tak terhingga. Cara melakukan matematik ini dipanggil kaedah aksiom.

Sikap biasa terhadap kaedah aksiom ialah logik. Dalam buku mereka Principia Mathematica, Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell cuba menunjukkan bahawa semua teori matematik boleh dikurangkan kepada beberapa koleksi aksiom. Secara umumnya, pengurangan badan proposisi kepada koleksi aksiom tertentu mendasari program penyelidikan ahli matematik. Ini sangat menonjol dalam matematik abad kedua puluh, khususnya dalam mata pelajaran berdasarkan algebra homologi.

Penjelasan aksiom tertentu yang digunakan dalam teori boleh membantu untuk menjelaskan tahap abstraksi yang sesuai yang ahli matematik ingin bekerja dengannya. Sebagai contoh, ahli matematik memilih bahawa cincin tidak perlu komutatif, yang berbeza daripada rumusan asal Emmy Noether. Ahli matematik memutuskan untuk mempertimbangkan ruang topologi secara lebih umum tanpa aksiom pemisahan yang pada asalnya dirumuskan oleh Felix Hausdorff.

Teori set Zermelo-Fraenkel, hasil daripada kaedah aksiom yang digunakan untuk teori set, membenarkan perumusan "betul" masalah teori set dan membantu mengelakkan paradoks teori set naif. Satu masalah sedemikian ialah hipotesis kontinum. Teori set Zermelo–Fraenkel, dengan aksiom pilihan yang kontroversial mengikut sejarah disertakan, biasanya disingkatkan ZFC, di mana "C" bermaksud "pilihan". Ramai pengarang menggunakan ZF untuk merujuk kepada aksiom teori set Zermelo–Fraenkel dengan aksiom pilihan dikecualikan. Hari ini ZFC ialah bentuk piawai bagi teori set aksiom dan oleh itu merupakan asas matematik yang paling biasa.

Sejarah

Kaedah matematik dibangunkan pada tahap yang canggih di Mesir purba, Babylon, India, dan China, nampaknya tanpa menggunakan kaedah aksiom.

Euclid dari Alexandria mengarang persembahan aksiom terawal yang masih wujud bagi geometri Euclid dan teori nombor. Ideanya bermula dengan lima andaian geometri yang tidak dapat dinafikan dipanggil aksiom. Kemudian, dengan menggunakan aksiom ini, dia menubuhkan kebenaran proposisi lain dengan bukti, maka kaedah aksiom.

Banyak sistem aksiom telah dibangunkan pada abad kesembilan belas, termasuk geometri bukan Euclidean, asas analisis sebenar, teori set Cantor, kerja Frege mengenai asas, dan penggunaan kaedah aksiom 'baru' Hilbert sebagai alat penyelidikan. Sebagai contoh, teori kumpulan mula-mula diletakkan pada asas aksiom menjelang akhir abad itu. Sebaik sahaja aksiom dijelaskan (bahawa unsur songsang perlu diperlukan, sebagai contoh), subjek boleh meneruskan secara autonomi, tanpa merujuk kepada asal-usul kumpulan transformasi kajian tersebut.

Issues

Tidak setiap badan proposisi yang konsisten boleh ditangkap oleh koleksi aksiom yang boleh dijelaskan. Dalam teori rekursi, himpunan aksiom dipanggil rekursif jika program komputer boleh mengenali sama ada proposisi yang diberikan dalam bahasa itu adalah teorem. Teorem ketidaklengkapan pertama Gödel kemudian memberitahu kita bahawa terdapat badan proposisi tertentu yang konsisten tanpa aksiomatisasi rekursif. Biasanya, komputer boleh mengenali aksiom dan peraturan logik untuk mendapatkan teorem, dan komputer boleh mengenali sama ada bukti itu sah, tetapi untuk menentukan sama ada bukti wujud untuk pernyataan hanya boleh larut dengan "menunggu" bukti atau tidak bukti itu. dihasilkan. Hasilnya ialah seseorang tidak akan mengetahui proposisi mana yang merupakan teorem dan kaedah aksiom rosak. Contoh badan proposisi sedemikian ialah teori nombor asli, yang hanya sebahagiannya diaksiomasikan oleh aksiom Peano (diterangkan di bawah).

Dalam amalan, tidak setiap bukti dikesan kembali kepada aksiom. Kadang-kadang, tidak jelas koleksi aksiom yang mana bukti menarik. Sebagai contoh, pernyataan teori nombor mungkin boleh diungkapkan dalam bahasa aritmetik (iaitu bahasa aksiom Peano) dan bukti mungkin diberikan yang menarik kepada topologi atau analisis kompleks. Ia mungkin tidak segera jelas sama ada bukti lain boleh ditemui yang terbit sendiri semata-mata daripada aksiom Peano.

Mana-mana sistem aksioma yang dipilih secara sewenang-wenangnya adalah asas beberapa teori matematik, tetapi sistem aksiom sewenang-wenangnya tidak semestinya bebas daripada percanggahan, dan walaupun ia berlaku, ia tidak mungkin menjelaskan apa-apa. Ahli falsafah matematik kadang-kadang menegaskan bahawa ahli matematik memilih aksiom "sewenang-wenangnya", tetapi ada kemungkinan bahawa walaupun ia mungkin kelihatan sewenang-wenang apabila dilihat hanya dari sudut pandangan kanon logik deduktif, penampilan itu disebabkan oleh batasan pada tujuan yang deduktif. logik berfungsi.

Contoh: Pengaksiomatan Peano bagi nombor asli

Sistem matematik nombor asli 0, 1, 2, 3, 4, ... adalah berdasarkan sistem aksiom yang pertama kali dicipta oleh ahli matematik Giuseppe Peano pada tahun 1889. Dia memilih aksiom, dalam bahasa simbol fungsi unari tunggal S (singkatan daripada "pengganti"), untuk set nombor asli ialah:

• Terdapat nombor asli 0.
• Setiap nombor asli a mempunyai pengganti, dilambangkan dengan Sa.
• Tiada nombor asli yang penggantinya ialah 0.
• Nombor asli yang berbeza mempunyai pengganti yang berbeza: jika a ≠ b, maka Sa ≠ Sb.
• Jika sesuatu harta dimiliki oleh 0 dan juga oleh pengganti setiap nombor asli yang dimilikinya, maka ia dimiliki oleh semua nombor asli ("Aksiom aruhan").

Aksiomatisasi

Dalam matematik, aksiomatisasi ialah proses mengambil badan pengetahuan dan bekerja ke belakang ke arah aksiomnya. Ia adalah rumusan sistem pernyataan (iaitu aksiom) yang mengaitkan beberapa istilah primitif — supaya badan proposisi yang konsisten boleh diterbitkan secara deduktif daripada pernyataan ini. Selepas itu, bukti sebarang proposisi hendaklah, pada dasarnya, boleh dikesan kembali kepada aksiom ini.

Bacaan lanjut

• Hazewinkel, Michiel, penyunting (2001), "Axiomatic method", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Eric W. Weisstein, Axiomatic System, From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Mathworld.wolfram.com & Answers.com